Question

【題目】若一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)與面積都是整數(shù)，則稱(chēng)為“海倫三角形”；三邊長(zhǎng)互質(zhì)的海倫三角形，稱(chēng)為“本原海倫三角形”；邊長(zhǎng)都不是3的倍數(shù)的本原海倫三角形，稱(chēng)為“奇異三角形”.

（1）求奇異三角形的最小邊長(zhǎng)的最小值；

（2）求證：等腰的奇異三角形有無(wú)數(shù)個(gè)；

（3）問(wèn)：非等腰的奇異三角形有多少個(gè)？

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)、、()是一個(gè)奇異三角形的三邊長(zhǎng).則由海海倫公式知

. ①

因?yàn)?/span>，所以，、、中至少有一個(gè)為奇數(shù).如果、、中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，則、、、都是奇數(shù)，與式①矛盾.

因此，、、中恰有兩個(gè)為奇數(shù).

若，由，知.

因?yàn)?/span>，所以，.

此時(shí)，、、中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，矛盾.

若，由，知.

因?yàn)?/span>，所以，或.

當(dāng)時(shí)，，，因此，.

但，矛盾.

當(dāng)時(shí)，、一奇一偶.

故、、中恰有一個(gè)奇數(shù)，矛盾.

若，則、都是奇數(shù).

由，知.

又，于是，或.

當(dāng)時(shí)，，，所以，為偶數(shù).

令.則，.

但，于是，，，故，矛盾.

當(dāng)時(shí)，，所以，.令，則.

若，則，與奇異三角形矛盾.若，則，也與奇異三角形矛盾.

綜上所述，.

又（5，5，8）是奇異三角形，故奇異三角形的最小邊長(zhǎng)的最小值為5.

（2）若、，，、一奇一偶，則是奇異三角形.

事實(shí)上，為整數(shù).

其次，因、一奇一偶，則.

故.

最后，因?yàn)?/span>，且，故、中恰有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以，、都不是3的倍數(shù).

特別地，取，.則是奇異三角形.

類(lèi)似知，若、，，，，、一奇一偶，則是奇異三角形.

特別地，取，，則是奇異三角形.

（3）非等腰的奇異三角形亦有無(wú)數(shù)個(gè).

取，令，，.

因?yàn)?/span>為奇數(shù)，所以，、、為整數(shù)，且顯然有.

又因?yàn)?/span>不是3的倍數(shù)，所以，、、都不是3的倍數(shù).

最后，由于，于是，、都不是5的倍數(shù)，進(jìn)而，由，知.

經(jīng)計(jì)算可得為整數(shù).

所以，（、、）是非等腰奇異三角形.