Question

已知函數(shù)f(x)=ln(

1

2

+

1

2

ax)+x2-ax．（a為常數(shù)，a＞0）
（Ⅰ）若x=

1

2

是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）求證：當0＜a≤2時，f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若對任意的a∈（1，2），總存在 x0∈[

1

2

，1]，使不等式f（x₀）＞m（1-a²）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導函數(shù)：f′(x)=

1 2 a

1 2 + 1 2 ax

+2x-a=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

，利用x=

1

2

是函數(shù)f（x）的一個極值點對應的結(jié)論f'（

1

2

）=0即可求a的值；
（Ⅱ）利用：f′(x)=

1 2 a

1 2 + 1 2 ax

+2x-a=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

，在0＜a≤2時，分析出因式中的每一項都大于等于0即可證明結(jié)論；

（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

2

，1]上的最大值為f(1)=ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a，把問題轉(zhuǎn)化為對任意的a∈（1，2），不等式ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a+m(a2-1)＞0恒成立；然后再利用導函數(shù)研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由題得：f′(x)=

1 2 a

1 2 + 1 2 ax

+2x-a=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

．
（Ⅰ）由已知，得f′(

1

2

)=0且

a2-2

2a

≠0，∴a²-a-2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分）
（Ⅱ）當0＜a≤2時，∵

a2-2

2a

-

1

2

=

a2-a-2

2a

=

(a-2)(a+1)

2a

≤0，∴

1

2

≥

a2-2

2a

，
∴當x≥

1

2

時，x-

a2-2

2a

≥0．又

2ax

1+ax

＞0，
∴f'（x）≥0，故f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函數(shù)．（5分）
（Ⅲ）a∈（1，2）時，由（Ⅱ）知，f（x）在[

1

2

，1]上的最大值為f(1)=ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a，
于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a+m(a2-1)＞0恒成立．
記g(a)=ln(

1

2

+

1

2

a)+1-a+m(a2-1)，（1＜a＜2）
則g′(a)=

1

1+a

-1+2ma=

a

1+a

[2ma-(1-2m)]，
當m=0時，g′(a)=

-a

1+a

＜0，∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，此時，g（a）＜g（1）=0，
由于a²-1＞0，∴m≤0時不可能使g（a）＞0恒成立，
故必有m＞0，∴g′(a)=

2ma

1+a

[a-(

1

2m

-1)]．
若

1

2m

-1＞1，可知g（a）在區(qū)間(1，min{2，

1

2m

-1})上遞減，在此區(qū)間上，有g(shù)（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故

1

2m

-1≤1，
這時，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g(shù)（a）＞g（1）=0，滿足題設(shè)要求，
∴

m＞0 1 2m -1≤1

，即m≥

1

4

，
所以，實數(shù)m的取值范圍為[

1

4

，+∞)．（14分）

點評：本題第一問主要考查利用極值求對應變量的值．可導函數(shù)的極值點一定是導數(shù)為0的點，但導數(shù)為0的點不一定是極值點．