Question

已知動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x=1的距離之比為2.

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)設(shè)點P的軌跡為曲線C,過點F作互相垂直的兩條直線l₁、l₂,l₁交曲線C于A、B兩點，l₂交曲線C于M、N兩點.求證:+為定值.

Answer 1

解:(1)設(shè)P(x,y),由題意,得=|x-1|.

化簡,得x²-y²=2.

所以點P的軌跡方程為x²-y²=2.

(2)當直線l₁,l₂之一與x軸垂直，不防設(shè)l₁與x軸垂直，此時A(2,),B(2,-),

M(-,0),N(,0),

·=（0，）·（0，-）=-2，

·=（--2，0）·（-2，0）=2，

所以+=0.

當直線l₁,l₂都不與x軸垂直時，由題意設(shè)直線l₁為y=k(x-2),k≠0,

則l₂的方程為y=(x-2),

由得(1-k²)x²+4k²x-4k²-2=0.

因為l₁交雙曲線C于A、B兩點，

所以解得k≠±1.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=,y₁=k(x₁-2),y₂=k(x₂-2).

因為=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂),所以·=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂

=(1+k²)［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=(1+k²)(+4)=.

同理可求得·,

所以=()=0,

即為定值0.