Question

已知動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x=1的距離之比為.

(1)求動點P的軌跡方程;

(2)設(shè)點P的軌跡為曲線C,過點F作互相垂直的兩條直線l₁、l₂,l₁交曲線C于A、B兩點,l₂交曲線C于M、N兩點.求證:+為定值.

Answer 1

答案：(1)解:設(shè)P(x,y),

由題意得=|x-1|.

化簡得x²-y²=2.

所以點P的軌跡方程為x²-y²=2.

(2)證明:當(dāng)直線l₁,l₂之一與x軸垂直,不妨設(shè)l₁與x軸垂直,此時A(2, ),B(2,- ),M(-,0),N(,0),

·=(0,)·(0,-)=-2,

·=(--2,0)·(-2,0)=2,

所以+=0.

當(dāng)直線l₁,l₂都不與x軸垂直時,

由題意設(shè)直線l₁為y=k(x-2),k≠0,

則l₂的方程為y=(x-2).

由得(1-k²)x²+4k²x-4k²-2=0.

因為l₁交雙曲線C于A、B兩點,

所以

解得k≠±1.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=,y₁=k(x₁-2),y₂=k(x₂-2).

因為=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂),

所以·=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂

=(1+k²)［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］

=(1+k²)(+4)

=.12分

同理可求得·=.

所以+=(+)=0,

即+為定值0.