已知，函數(shù)，．（的圖象連續(xù)不斷）
(1) 求的單調(diào)區(qū)間；
(2) 當(dāng)時，證明：存在，使；
(3) 若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明：．
(Ⅰ) 的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．
(Ⅱ)存在，使．
(Ⅲ)　．

試題分析：(Ⅰ) ，．          2分
令，則．          3分
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：
　　





　　
　　　


　單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．
.. ...4分
(Ⅱ) 當(dāng)時，，
由(Ⅰ)知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．        5分
令．          ...6分
由于在單調(diào)遞增，則，因而．     7分
取，則，          ...8分
所以存在，使，即存在，使．   9分
(Ⅲ) 由及的單調(diào)性知．    10分
從而在區(qū)間上的最小值為．又由，，則　

．      11分
所以     12分
即          13分
所以　　　．          14分
點評：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。本題采用“表解法”，清晰明了。涉及不等式證明問題，往往要轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)的最值，通過構(gòu)建a的不等式組，求得a的范圍。本題涉及對數(shù)函數(shù)，要注意函數(shù)的定義域。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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江蘇某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面要求面積為平方米，且高度不低于米，設(shè)防洪堤橫斷面的腰長為米，外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）為米.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；
（2）要使防洪提的橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知映射,其中，對應(yīng)法則若對實數(shù)，在集合A中不存在原象，則k的取值范圍是                               (  ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若函數(shù)，則=                                  （   ）
A．2B．4C．D．0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)的定義域為且的圖像關(guān)于直線對稱，當(dāng)x<1時，，則當(dāng)x>1時，的遞減區(qū)間為            。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如下左圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（     ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

直線y＝a與函數(shù)＝x3－3x的圖象有相異的三個公共點，則a的取值范圍是  _____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)的大致圖象是 （   ）

A.                    B.               C.                  D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

定義域為的偶函數(shù)，對，有，且當(dāng) 時，，若函數(shù)在上至少有三個零點，則的取值范圍是（   ）
A．B．C．D．

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