分析:(I )由
f′(x)=x2-ax+,x
1,x
2是方程
x2-ax+=0的兩個根,
△=a2->0,x
1+x
2=a,由
g′(x)=1-=,(x>0).知當a≤0時,g′(x)>0,函數無極值點.當a>0,x∈(0,a),g′(x)<0;當x∈(a,+∞),g′(x)>0,函數的極值點x
0=a.由此能求出實數a的取值范圍.
(II)由
<a<1,知g(x)在[1,m]上為增函數,故g(x)
min=g(1)=1.導函數f′(x)的對稱軸為x=
<,由此入手能夠求出實數m的取值范圍.
解答:解:(I )∵函數f(x)=
x
3-
ax
2+
x+1的極值點是x
1,x
2,,
∴
f′(x)=x2-ax+,x
1,x
2是方程
x2-ax+=0的兩個根,
∴
△=a2->0,x
1+x
2=a,
∵g(x)=x-alnx的極值點是x
0,
∴
g′(x)=1-=,(x>0).
當a≤0時,g′(x)>0,函數無極值點.
當a>0,x∈(0,a),g′(x)<0;當x∈(a,+∞),g′(x)>0,
函數的極值點x
0=a.
∵x
0+x
1+x
2<2.
∴
,
∴
<a<1.
(II)∵
<a<1,
∴g(x)在[1,m]上為增函數,
∴g(x)
min=g(1)=1.
導函數f′(x)的對稱軸為x=
<,
x1x2=,
∴x
1,x
2都是小于1的正數,
∵f′(x)=(x-x
1)(x-x
2),令x
1<x
2,
∵
x∈(x2,+∞),f′(x)>0,
∴f(x)在[1,m]上為增函數,
∴
f(x) max=f(m)=m3-am2+m+1,
∴
m3-am2+m+1≤1,
即-27m
2a+18m
3+4m≤0,
∵m>1,令h(a)在(
,1)為減函數,
∴h(1)<0,即18m
3-27m
2+4m<0,
解得
<m<,
∴
1<m<.
點評:本題考查利用導數求閉區(qū)間上函數的最值的應用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉化思想.對數學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.