Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2－2mx＋4m2－6＝0的兩不等根為α，β，試求(α－1)2＋(β－1)2的最值.

Answer 1

【答案】最大值為15，無最小值.

【解析】試題分析:根據(jù)一元二次方程寫出韋達(dá)定理,將原式化簡(jiǎn)為兩根和與乘積的形式代入,化簡(jiǎn)為關(guān)于m的二次函數(shù),由Δ>0求出m的取值范圍,即函數(shù)的定義域,根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最值.

試題解析:

由題可知α＋β＝2m，αβ＝4m2－6，

∴(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2

＝4m2－2(4m2－6)－2·2m＋2＝－4m2－4m＋14＝－4(m＋)2＋15.

∵Δ＝(－2m)2－4(4m2－6)＝－12m2＋24>0，∴當(dāng)m＝－時(shí)滿足Δ>0.∴原式的最大值為15，無最小值.

點(diǎn)睛:本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.設(shè)一元二次方程的兩根為, ,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)等根,當(dāng)時(shí),方程無根, 當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且根據(jù)韋達(dá)定理有,或者根據(jù)求根公式可得.