已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且與橢圓x2＋＝1有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M(0,1)，與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．

（1）＋＝1;（2）(－∞，)．

解析試題分析：(1)求出已知橢圓離心率，結合焦距2c=4，可得a，b；（2）聯(lián)立方程組，依據(jù)點在圓內部列出關系式求解.
試題解析：(1)∵橢圓C的焦距為4，∴c＝2.
又∵橢圓x2＋＝1的離心率為，∴橢圓C的離心率e＝＝＝，∴a＝2，b＝2.
∴橢圓C的標準方程為＋＝1.
(2)設直線l的方程為y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.
由(1)知橢圓C的右焦點F的坐標為(2,0)，
∵右焦點F在圓的內部，∴·<0.∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2<0，
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1<0.∴(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5
＝(1＋k2)·＋(k－2)·＋5＝<0，∴k<.
經(jīng)檢驗，當k<時，直線l與橢圓C相交．∴直線l的斜率k的取值范圍為(－∞，)．
考點：橢圓方程得確定、直線與圓及橢圓的位置關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

以點F1（－1,0），F(xiàn)2（1,0）為焦點的橢圓C經(jīng)過點（1，）。
（I）求橢圓C的方程；
（II）過P點分別以為斜率的直線分別交橢圓C于A，B，M，N，求證： 使得

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中,點到兩點的距離之和等于4,設點的軌跡為,直線與交于兩點.
(1)寫出的方程;
(2)若點在第一象限,證明當時,恒有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動點到定點和的距離之和為.
（Ⅰ）求動點軌跡的方程；
（Ⅱ）設，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，右準線為，離心率為．若直線與橢圓交于不同的兩點、，以線段為直徑作圓.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若圓與軸相切，求圓被直線截得的線段長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點的坐標分別是、，直線相交于點，且它們的斜率之積為．
(1)求點軌跡的方程；
(2)若過點的直線與(1)中的軌跡交于不同的兩點，試求面積的取值范圍（為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的長軸兩端點分別為，是橢圓上的動點，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點，交于點．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點時，的面積為12，點到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率等于，點P在橢圓上。
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左右頂點分別為，過點的動直線與橢圓相交于兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的離心率，是其左右焦點，點是直線（其中）上一點，且直線的傾斜角為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若 是橢圓上兩點，滿足，求（為坐標原點）面積的最小值.

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