Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ACC₁A₁是矩形，F(xiàn)C₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，點(diǎn)A、B、E、A₁在一個(gè)平面內(nèi)，AB=BC=CC₁=2，．
（1）證明：A₁E∥AB；
（2）證明：平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ACC₁A₁是矩形，
∴A₁C₁∥AC，AC?平面ABC，∴A₁C₁∥平面ABC．
∵FC₁∥BC，BC⊆平面ABC，∴FC₁∥平面ABC，
∵A₁C₁，F(xiàn)C₁⊆平面A₁EFC₁，
∴平面A₁EFC₁∥平面ABC，
∵平面ABEA與平面A₁EFC₁、平面ABC的交線分別是A₁E、AB，
∴A₁E∥AB．
（2）∵四邊形ACC₁A₁是矩形，∴AA₁∥CC₁，
∵∠BCC₁=90°，即CC₁⊥BC，
∴AA₁⊥BC，
∵AB=BC=2，AC=2，
∴AB²+BC²=AC²，∴∠ABC=90°，
即BC⊥AB，
∵AB，AA₁?平面AA₁EB，BC⊥平面AA₁EB，而BC?平在CC₁FB，
∴平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．
分析：（1）由四邊形ACC₁A₁是矩形，知A₁C₁∥AC，AC?平面ABC，故A₁C₁∥平面ABC．由FC₁∥BC，BC⊆平面ABC，知FC₁∥平面ABC，故平面A₁EFC₁∥平面ABC，由此能夠證明A₁E∥AB．
（2）由四邊形ACC₁A₁是矩形，知AA₁∥CC₁，由∠BCC₁=90°，知AA₁⊥BC，由AB=BC=2，AC=2，知BC⊥AB，由此能夠證明平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線平行的證明和平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)的隱含條件，合理地化空間幾何問題為平面解析幾何問題，注意培養(yǎng)空間想象力．