Question

已知長方形ABCD，AB=2

2

，BC=1．以AB的中點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系xoy．橢圓Γ以A、B為焦點，且過C、D兩點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）的直線l交橢圓Γ于M，N兩點，是否存在直線l，使得OM⊥ON？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得點A，B，C的坐標，設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)題意知2a=AC+BC，求得a，進而根據(jù)b，a和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2．與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂，進而根據(jù)OM⊥ON，推斷則

OM

⊥

ON

，得知x₁x₂+y₁y₂=0，根據(jù)x₁x₂求得y₁y₂代入即可求得k，最后檢驗看是否符合題意．

解答：解：（1）由題意可得點A，B，C的坐標分別為（-

2

，0），（

2

，0），（

2

，1）
設(shè)橢圓的標準方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
則2a=AC+BC，
即2a=

(2 2 )2+12

+1=4＞2

2

，所以a=2．
所以b²=a²-c²=4-2=2．
所以橢圓的標準方程是

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）由題意知，直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
由

y=kx+2  x2+2y2=4

得（1+2k²）x²+8kx+4=0．
因為M，N在橢圓上，
所以△=64k²-16（1+2k²）＞0．
設(shè)M，N兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=-

8k

1+2k2

，x₁x₂=

4

1+2k2

，
由于OM⊥ON，則

OM

⊥

ON

，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以，x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
所以

4(1+k2)

1+2k2

-

16k2

1+2k2

+4=0，即

8-4k2

1+2k2

=0，
得k²=2，k=±

2

經(jīng)驗證，此時△=48＞0．
所以直線l的方程為y=

2

x+2，或y=-

2

x+2．
即所求直線存在，其方程為y=±

2

x+2．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程以及直線與橢圓的關(guān)系．在設(shè)直線方程時一定要看斜率的存在情況，最后還要檢驗斜率k是否符合題意．