【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,⊥平面的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:∥平面;

(Ⅱ)設(shè)二面角為60°,=1,=,求三棱錐的體積.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2

【解析】

試題(1)證明線面平行,根據(jù)判定定理就是要證線線平行,而平行線的尋找,又是根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理找到,設(shè)交點(diǎn)為,過(guò)的平面與平面的交線就是,這就是要找的平行線,由中位線定理易證;(2)要求三棱錐的體積,關(guān)鍵是求得底面三角形的面積(高為到底面的距離,即為的一半),已知條件是二面角大小為,為此可以軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè) ,寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),求得平面和平面的法向量,由法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)可求得,從而可求得底面積,體積.

試題解析:(1)證明:連,設(shè),連

的中點(diǎn),,

平面平面,

平面;

2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

設(shè) .則

設(shè)為平面的法向量,則

為平面的一個(gè)法向量,

,

因?yàn)?/span>的中點(diǎn),所以三棱錐的高為,

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2)設(shè)平面內(nèi)曲線上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到的點(diǎn)的軌跡是曲線,求原來(lái)曲線的方程,并求曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值.

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(I)根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并根據(jù)此資料判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“市場(chǎng)購(gòu)物用手機(jī)支付與年齡有關(guān)”?

2×2列聯(lián)表:

青年

中老年

合計(jì)

使用手機(jī)支付

120

不使用手機(jī)支付

48

合計(jì)

200

(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機(jī)支付”和“不使用手機(jī)支付”抽取一個(gè)容量為10的樣本,再?gòu)闹须S機(jī)抽取3人,求這三人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)的分布列及期望.

附:

0.05

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

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A. 18,12,10 B. 20,12,8 C. 17,13,10 D. 18,11,11

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