【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,⊥平面,為的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:∥平面;
(Ⅱ)設(shè)二面角為60°,=1,=,求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
試題(1)證明線面平行,根據(jù)判定定理就是要證線線平行,而平行線的尋找,又是根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理找到,設(shè)與交點(diǎn)為,過(guò)的平面與平面的交線就是,這就是要找的平行線,由中位線定理易證;(2)要求三棱錐的體積,關(guān)鍵是求得底面三角形的面積(高為到底面的距離,即為的一半),已知條件是二面角大小為,為此可以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè) ,寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),求得平面和平面的法向量,由法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)可求得,從而可求得底面積,體積.
試題解析:(1)證明:連,設(shè),連,
∵是的中點(diǎn),∴,
∵平面,平面,
∴平面;
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
.
設(shè) .則.
設(shè)為平面的法向量,則
取.
又為平面的一個(gè)法向量,
∴,∴.
因?yàn)?/span>為的中點(diǎn),所以三棱錐的高為,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,的外心為O,E是AC的中點(diǎn),直線OE交AB于點(diǎn)D,M、N分別是的外心、內(nèi)心.若AB=2BC,證明:為直角三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)直線上的點(diǎn)作橢圓的切線,切點(diǎn)分別為,聯(lián)結(jié).
(1)當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),證明:直線恒過(guò)定點(diǎn);
(2)當(dāng)時(shí),定點(diǎn)平分線段.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知對(duì)任意平面向量,把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量,叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn).
(1)已知平面內(nèi)點(diǎn),點(diǎn).把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)平面內(nèi)曲線上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到的點(diǎn)的軌跡是曲線,求原來(lái)曲線的方程,并求曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中為正實(shí)數(shù).
(1)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】手機(jī)作為客戶端越來(lái)越為人們所青睞,通過(guò)手機(jī)實(shí)現(xiàn)衣食住行消費(fèi)已經(jīng)成為一種主要的消費(fèi)方式.在某市,隨機(jī)調(diào)查了200名顧客購(gòu)物時(shí)使用手機(jī)支付的情況,得到如下的2×2列聯(lián)表,已知從使用手機(jī)支付的人群中隨機(jī)抽取1人,抽到青年的概率為.
(I)根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并根據(jù)此資料判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“市場(chǎng)購(gòu)物用手機(jī)支付與年齡有關(guān)”?
2×2列聯(lián)表:
青年 | 中老年 | 合計(jì) | |
使用手機(jī)支付 | 120 | ||
不使用手機(jī)支付 | 48 | ||
合計(jì) | 200 |
(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機(jī)支付”和“不使用手機(jī)支付”抽取一個(gè)容量為10的樣本,再?gòu)闹须S機(jī)抽取3人,求這三人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)的分布列及期望.
附:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將參加夏令營(yíng)的400名學(xué)生編號(hào)為:001,002,…,400,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本,且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003,這400名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū),從001到180在第一營(yíng)區(qū),從181到295在第二營(yíng)區(qū),從296到400在第三營(yíng)區(qū),三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)分別為( )
A. 18,12,10 B. 20,12,8 C. 17,13,10 D. 18,11,11
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F1的直線與C交于A,B兩點(diǎn).△ABF2的周長(zhǎng)為,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C的下頂點(diǎn),直線PA,PB與y=2分別交于點(diǎn)M,N,當(dāng)|MN|最小時(shí),求直線AB的方程.
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