Question

已知函數(shù)f（x）在R上滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且   當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（1）=2 
（1）求f（0）、f（3）的值．
（2）判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，再令x=y=1，可得f（2）=4，再x=2，y=1，則有f（3）=6，
（2）用定義判定f（x）的單調(diào)性；

解答： 解：（1）∵對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，則有f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
令x=y=1，則有f（2）=f（1）+f（1），
∴f（2）=4，
令x=2，y=1，則有f（3）=f（2）+f（1），
∴f（3）=6；
（2）∵f（0）=0，f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（x）=-f（-x），函數(shù)是奇函數(shù)，
任取x₁，x₂∈R，設(shè)x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，又x＞0時(shí)，f（x）＞0，
則有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數(shù)；

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判定以及應(yīng)用問題，是中檔題．