Question

已知函數(shù)y=f（x）=log_a（1-a^x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域、值域；
（2）證明f（x）在定義域上是減函數(shù)．

Answer 1

解：（1）由1-a^x＞0，得a^x＜1．（1分）
當(dāng)a＞1時(shí)，x＜0；（2分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞0．（3分）
所以f（x）的定義域是當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈（0，+∞）；當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（-∞，0）．（4分）
又當(dāng)a＞1時(shí)，x＜0，?1＞1-a^x＞0，?log_a（1-a^x）＜0，即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，0）．
當(dāng)時(shí)，x＞0，?1＞1-a^x＞0，?log_a（1-a^x）＞0，即函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）．
所以f（x）的值域是，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y∈（0，+∞）；當(dāng)a＞1時(shí)，y∈（-∞，0）．
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，（5分）
則 ，所以 ．（6分）
因?yàn)?＜a＜1，所以 ，即f（x₁）＞f（x₂）．（8分）
故當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．（9分）
同理，當(dāng)a＞1時(shí)，任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，（10分）
可得當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（-∞，0）上也是減函數(shù)．（14分）．
分析：（1）由1-a^x＞0，得a^x＜1 下面分類討論：當(dāng)a＞1時(shí)，x＜0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞0即可求得f（x）的定義域及值域；
（2）先對(duì)a值進(jìn)行分類討論：當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，再任取x₁、x₂屬于集合范圍之內(nèi)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域值域、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．