Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）若把函數(shù)f（x）的圖象按向量a平移后所得函數(shù)為奇函數(shù)，求使得|a|最小的a．

Answer 1

（本小題13分）
解：∵f（x）=sin²x+sinxcosx+1
=+sin2x+1
=sin2x-cos2x+…（2分）
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期
T==π…（3分）
令2kπ-≤2x-≤2kπ+?kπ-≤x≤kπ+，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]（k∈Z）．…（5分）
（Ⅱ）∵x∈[0，]，
∴2x-∈[-，]，
∴sin（2x-）∈[-，1]，
所以函數(shù)f（x）的最小值為1，最大值為…（9分）
（Ⅲ）令2x-=kπ，x=+（k∈Z），
即函數(shù)圖象對稱中心為（+，）k=0時距原點最近，則滿足條件的||=（-，-）…（13分）
分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換將f（x）=sin²x+sinxcosx+1化簡為：f（x）=sin（2x-）+，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）由前兩問可知，2x-=kπ時，f（x）為奇函數(shù)，從而可求得其對稱中心，繼而可求得||最小時對應(yīng)的向量．
點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，考查正弦函數(shù)的最小正周期、單調(diào)區(qū)間、最值及對稱中心，熟練掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的基礎(chǔ)，屬于中檔題．