【題目】已知圓：，過(guò)且與圓相切的動(dòng)圓圓心為.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）已知過(guò)點(diǎn)的兩直線和互相垂直，且直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn)（，，，為不同的四個(gè)點(diǎn)），求四邊形的面積的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為，判斷圓與圓內(nèi)切，從而可得，，由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的橢圓，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

（2）分類討論若或的斜率不存在，求出四邊形的面積；若兩條直線的斜率都存在，設(shè)的斜率為，則的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式求出、的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出，由，利用基本不等式即可求解.

解：（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為，由于在圓內(nèi)，故圓與圓內(nèi)切，

則，，∴，

由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的橢圓，

，，，

∴軌跡的方程為.

（2）若或的斜率不存在，四邊形的面積，

若兩條直線的斜率都存在，設(shè)的斜率為，則的斜率為，

則的方程為，的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

由韋達(dá)定理得，，

，

設(shè)，，則，

同理可得，

∴

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

∵，因此當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最小值為.

另解一：

.

當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.

另解二：也可以令換元求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2016年“一帶一路”沿線64個(gè)國(guó)家GDP之和約為12.0萬(wàn)億美元，占全球GDP的；人口總數(shù)約為32.1億，占全球總?cè)丝诘?/span>；對(duì)外貿(mào)易總額（進(jìn)口額＋出口額）約為71885.6億美元，占全球貿(mào)易總額的.

2016年“一帶一路”沿線國(guó)家情況

人口（萬(wàn)人）

GDP（億美元）

進(jìn)口額（億美元）

出口額（億美元）

蒙古

301.4

116.5

38.7

45.0

東南亞11國(guó)

63852.5

25802.2

11267.2

11798.6

南亞8國(guó)

174499.0

29146.6

4724.1

3308.5

中亞5國(guó)

6946.7

2254.7

422.7

590.7

西亞、北非19國(guó)

43504.6

36467.5

9675.5

8850.7

東歐20國(guó)

32161.9

26352.1

9775.5

11388.4

關(guān)于“一帶一路”沿線國(guó)家2016年?duì)顩r，能夠從上述資料中推出的是（ ）

A.超過(guò)六成人口集中在南亞地區(qū)

B.東南亞和南亞國(guó)家GDP之和占全球的以上

C.平均每個(gè)南亞國(guó)家對(duì)外貿(mào)易額超過(guò)1000億美元

D.平均每個(gè)東歐國(guó)家的進(jìn)口額高于平均每個(gè)西亞、北非國(guó)家的進(jìn)口額

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有且只有個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性并說(shuō)明理由；

（2）若，求證：關(guān)的不等式在上恒成立.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，點(diǎn)E、F、M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面α與平面DEF平行，且與長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)幾何圖形．

（1）在圖1中，畫出這個(gè)幾何圖形，并求這個(gè)幾何圖形的面積（不必說(shuō)明畫法與理由）

（2）在圖2中，求證：D1B⊥平面DEF．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】將四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1、2、3號(hào)的盒子中，不允許有空盒子的放法有多少種？下列結(jié)論正確的有（ ）.

A.B.C.D.18

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線C:()的焦點(diǎn)F到直線的距離為．AB是過(guò)拋物線C焦點(diǎn)F的動(dòng)弦，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)P．

（1）求證:．

（2）若動(dòng)弦AB不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線AB與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)N，記MA，MB，MN的斜率分別為，，．問(wèn):是否存在常數(shù)λ，使得在弦AB運(yùn)動(dòng)時(shí)恒成立?若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“猜想”是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù),若為偶數(shù),則讓它變成;若為奇數(shù),則讓它變成.如此循環(huán),最終都會(huì)變成,若數(shù)字按照以上的規(guī)則進(jìn)行變換,則變換次數(shù)為偶數(shù)的頻率是( )

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案