Question

已知函數(shù)

(1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x) 在點(1，f(1)) 處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對任意的x∈[1，＋∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

(1)x＋y－1＝0；(2)遞增區(qū)間為(，＋∞)，遞減區(qū)間為(0，)；(3)(－∞，0)∪(0，1]

【解析】試題分析：(1)分別求出f(1)和f '(1)，利用點斜式可寫出切線方程；(2)利用導(dǎo)函數(shù)值的符號，可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，過程中注意定義域；(3)要使得f(x)≥0恒成立，只需使得其最小值非負(fù)即可．

試題解析：【解析】
(1)a＝2時，f(x)＝x2－2lnx－，f(1)＝0…(1分)

f '(x)＝x－，f '(1)＝－1……(2分)

曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程x＋y－1＝0…(3分)

(2)f '(x)＝x－(x＞0)…(4分)

①當(dāng)a＜0時，f '(x)＝＞0恒成立，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(0，＋∞)…(6分)

②當(dāng)a＞0時，令f'(x)＝0，解得x＝或x＝－

x	(0，)		(，＋∞)
f′(x)	－		＋
f(x)	減		增

所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(，＋∞)，遞減區(qū)間為(0，)…(8分)

(3)對任意的x∈[1，＋∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1，＋∞)，f(x)min≥0

①當(dāng)a＜0時，f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，

所以只需f(1)≥0

而f(1)＝－aln1－＝0

所以a＜0滿足題意； …(9分)

②當(dāng)0＜a≤1時，0＜≤1，f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，

所以只需f(1)≥0

而f(1)＝－aln1－＝0

所以0＜a≤1滿足題意；…(10分)

③當(dāng)a＞1時，＞1，f(x)在[1，]上是減函數(shù)，[，＋∞)上是增函數(shù)，

所以只需f()≥0即可

而f()＜f(1)＝0

從而a＞1不滿足題意； …(12分)

綜合①②③實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪(0，1]．

考點：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題