Question

2014年全國網(wǎng)球賽規(guī)定：比賽分四個階段，只有上一階段的勝者，才能繼續(xù)參加下一階段的比賽，否則就
被淘汰，選手每闖過一個階段，個人積10分，否則積0分．甲、乙兩個網(wǎng)球選手參加了此次比賽．已知甲每
個階段取勝的概率為

1

2

，乙每個階段取勝的概為

2

3

．甲、乙取勝相互獨(dú)立．
（1）求甲、乙兩人最后積分之和為20分的概率；
（2）設(shè)甲的最后積分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)“甲、乙兩人最后積分之和為20分”為事件A，“甲得0分，乙得20分”為事件B，“甲得10分，乙得10分”為事件C，“甲得20分，乙得0分”為事件D，P（A）=P（B+C+D），由此能求出甲、乙兩人最后積分之和為20分的概率．
（2）X的取值為0，10，20，30，40，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)“甲、乙兩人最后積分之和為20分”為事件A，
“甲得0分，乙得20分”為事件B，
“甲得10分，乙得10分”為事件C，
“甲得20分，乙得0分”為事件D，
又P（B）=(1-

1

2

)(

2

3

)2(1-

2

3

)=

2

27

，
P（C）=

1

2

(1-

1

2

)•

2

3

•(1-

2

3

)=

1

18

，
P（D）=(

1

2

)2(1-

1

2

)(1-

2

3

)=

1

24

，
P（A）=P（B+C+D）=

2

27

+

1

18

+

1

24

=

37

216

．
（2）X的取值為0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-

1

2

=

1

2

，
P（X=10）=

1

2

(1-

1

2

)=

1

4

，
P（X=20）=(

1

2

)2(1-

1

2

)=

1

8

，
P（X=30）=(

1

2

)3(1-

1

2

)=

1

16

，
P（X=40）=（

1

2

）⁴=

1

16

，
∴X的分布列為：

X	0	10	20	30	40
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

EX=0×

1

2

+10×

1

4

+20×

1

8

+30×

1

16

+40×

1

16

=

75

8

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．