Question

已知函數(shù)在時取得極小值．

（1）求實數(shù)的值；

（2）是否存在區(qū)間，使得在該區(qū)間上的值域為？若存在，求出，的值；

若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）,（2）滿足條件的值只有一組，且．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)，不要忘記列表檢驗.因為導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點. 因為，所以由題意，解得或．當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，符合題意；當時，在上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，不符合題意．（2）由值域范圍確定解析式中參數(shù)范圍，是函數(shù)中難點.主要用到分類討論的思想方法.首先因為，所以．① 若，則，因為，所以．設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)．由于，即方程有唯一解為．② 若，則，即或．

（Ⅰ）時，，由①可知不存在滿足條件的．（Ⅱ）時，，兩式相除得．設(shè)，則，在遞增，在遞減，由得，，此時，矛盾．

【解】（1），

由題意知，解得或． 2分

當時，，

易知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，符合題意；

當時，，

易知在上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，不符合題意．

所以，滿足條件的． 5分

（2）因為，所以． 7分

① 若，則，因為，所以． 9分

設(shè)，則，

所以在上為增函數(shù)．

由于，即方程有唯一解為． 11分

② 若，則，即或．

（Ⅰ）時，，

由①可知不存在滿足條件的． 13分

（Ⅱ）時，，兩式相除得．

設(shè)，

則，

在遞增，在遞減，由得，，

此時，矛盾．

綜上所述，滿足條件的值只有一組，且． 16分

考點：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)上的應(yīng)用