(1)設(shè)橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1(m>0,n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同,離心率為
1
2
,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)雙曲線與橢圓
x2
27
+
y2
36
=1有相同的焦點(diǎn),且與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
分析:(1)由拋物線方程得到它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(2,0)也是橢圓的右焦點(diǎn),由此得到m2-n2=4.根據(jù)橢圓離心率為
1
2
,得到m2-n2=
1
4
m2,聯(lián)解得到m2=16,n2=12,即得該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)根據(jù)橢圓
x2
27
+
y2
36
=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,算出A的橫坐標(biāo)是±
15
,得A(±
15
,4).算出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±3)也是雙曲線的焦點(diǎn),由此可設(shè)雙曲線方程為
y2
k
-
x2
9-k
=1(0<k<9),代入點(diǎn)A坐標(biāo)解出k=4,從而得到此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解答:解:(1)∵拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(2,0)
∴橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1(m>0,n>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),可得m2-n2=4…①
∵橢圓的離心率e=
c
a
=
1
2
,∴
m2-n2
m2
=
1
4
…②
聯(lián)解①②,得m2=16,n2=12
∴該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
16
+
y2
12
=1;
(2)∵橢圓
x2
27
+
y2
36
=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4
∴設(shè)A(t,4),可得
t2
27
+
16
36
=1,解之得t=±
15
,A(±
15
,4)
∵橢圓
x2
27
+
y2
36
=1的焦點(diǎn)為(0,±3),雙曲線與橢圓
x2
27
+
y2
36
=1有相同的焦點(diǎn),
∴雙曲線的焦點(diǎn)為(0,±3),因此設(shè)雙曲線方程為
y2
k
-
x2
9-k
=1(0<k<9)
將點(diǎn)A(±
15
,4)代入,得
16
k
-
15
9-k
=1,解之得k=4(舍負(fù))
∴雙曲線方程為
y2
4
-
x2
5
=1
點(diǎn)評(píng):本題給出兩個(gè)曲線有公共的焦點(diǎn),在已知它們一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的情況下求曲線的方程,著重考查了橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)橢圓
x2
m2
+
y2
m2-1
=1(m>1)
上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3,到右焦點(diǎn)的距離為1,則P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為( 。
A、6
B、2
C、
1
2
D、
2
7
7

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1
(m>0,n>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=4y的焦點(diǎn)相同,離心率為
1
3
則此橢圓的方程為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1(m>0,n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同,離心率為
1
2
,則此橢圓的短軸長(zhǎng)為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(1)設(shè)橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1(m>0,n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同,離心率為
1
2
,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)雙曲線與橢圓
x2
27
+
y2
36
=1有相同的焦點(diǎn),且與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案