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定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓．

(1)若橢圓，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；

(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y＝x＋1對稱，求實數b的取值范圍？

(3)如圖：直線l與兩個“相似橢圓”和分別交于點A，B和點C，D，證明：|AC|＝|BD|

答案：
解析：

　　解：(1)橢圓與相似　　2分

　　因為橢圓的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為　　4分

　　(2)橢圓的方程為：

　　設，點，中點為，

　　則，所以則

　　因為中點在直線上，所以有，

　　即直線的方程為：，

　　由題意可知，直線與橢圓有兩個不同的交點，

　　即方程有兩個不同的實數解，

　　所以，即　　9分

　　(3)證明：

　�、僦本�與軸垂直時，易得線段AB與CD的中點重合，所以；②直線不與軸垂直時，設直線的方程為：，，

　　線段AB的中點，

　　－

　　線段AB的中點為

　　同理可得線段CD的中點為，即線段AB與CD的中點重合，所以　　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若橢圓C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱，求實數b的取值范圍？
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”M：
x2
a2
+
y2
b2
=1和Mλ：
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•徐匯區(qū)三模）定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若橢圓C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱，求實數b的取值范圍？
（3）如圖：直線l與兩個“相似橢圓”
x2
a2
+
y2
b2
=1和
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點A，B和點C，D，證明：|AC|=|BD|

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科目：高中數學 來源：2013屆福建省高二上學期期中考試理科數學試卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。

 

 

（1）若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；

（2）寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點、關于直線對稱，求實數的取值范圍？

（3）如圖：直線與兩個“相似橢圓”和分別交于點和點，證明：

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年上海市浦東新區(qū)南匯中學高三第一次考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓．
（1）若橢圓，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱，求實數b的取值范圍？
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”和分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）

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科目：高中數學 來源：2011年上海市徐匯區(qū)、金山區(qū)高考數學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓．
（1）若橢圓，判斷C2與C1是否相似？如果相似，求出C2與C1的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程；若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱，求實數b的取值范圍？
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”和分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）

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