Question

（2013•懷化三模）如圖1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=2

2

，MN分別為AD和BC的中點，對角線BD與MN交于O點，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM與平面MNCD所成角為60°，如圖2
（1）求證：BO⊥DO；
（2）求AO與平面BOD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：方法一：（1）先判斷∠AMD 是平面ABNM與平面MNCD的平面角，進一步證明△BOD是直角三角形，即可知BO⊥DO；
（2）設(shè)E，F(xiàn)是BD，CD的中點，則EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD，過A作AH⊥BD，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得AH⊥平面BOD，連接OH，則可證∠AOH為AO與平面BOD所成角；
方法二：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，證明

BO

•

DO

=0，即可；
（2）求出平面BOD的法向量是

n

=(x，y，z)，

AO

=（-

6

2

，-

2

2

，-1），再利用向量夾角公式即可求得結(jié)論．

解答：方法一：（1）證明：由題設(shè)，M，N是矩形的邊AD和BC的中點，所以AM⊥MN，BC⊥MN，
∵折疊垂直關(guān)系不變，∴∠AMD 是平面ABNM與平面MNCD的平面角，依題意，所以∠AMD=60°，…（2分）
由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=

2

，
在矩形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，所以，BD=

6

，由題可知BO=OD=

3

，
由勾股定理可知△BOD是直角三角形，所以BO⊥DO     …（5分）
（2）解：如圖1（2）設(shè)E，F(xiàn)是BD，CD的中點，則EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD
又BO=OD，所以O(shè)E⊥BD，OE⊥面ABCD，OE?面BOD，平面BOD⊥平面ABCD
過A作AH⊥BD，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得AH⊥平面BOD，連接OH，…（8分）
所以O(shè)H是AO在平面BOD的投影，
所以∠AOH為所求的角，即AO與平面BOD所成角．…（11分）
AH是RT△ABD斜邊上的高，所以AH=

2 3

3

，BO=OD=

3

，
所以sin∠AOH=

2

3

（14分）
方法二：空間向量：取MD，NC中點P，Q，如圖2建系，則Q（0，0，0），B（

6

2

，0，0），D（0，

2

2

，2），O（0，-

2

2

，1），
所以

BO

=（-

6

2

，-

2

2

，1），

DO

=（0，-

2

，-1）
所以

BO

•

DO

=0，即BO⊥DO（5分）
（2）設(shè)平面BOD的法向量是

n

=(x，y，z)，
可得-

6

2

x-

2

2

y+z=0-

2

y-z=0，令y=

2

可得x=-

6

，z=-2
所以A

n

=(-

6

，

2

，-2)
又

AO

=（-

6

2

，-

2

2

，-1），
設(shè)AO與平面BOD所成角為θ
則sinθ=|cos＜

AO

，

n＞

|=

2

3

（14分）

點評：本題以平面圖形的翻折為載體，考查線線垂直，考查線面角，既用傳統(tǒng)方法，又用向量方法，兩法并舉，細(xì)細(xì)體會．