(2013•懷化三模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(diǎn)(
3
,
3
2
)
,離心率e=
1
2
,若點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓C上,則點(diǎn)N(
x0
a
y0
b
)
稱為點(diǎn)M的一個“橢點(diǎn)”,直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、B的“橢點(diǎn)”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為D,上頂點(diǎn)為E,試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系,并證明.
分析:(1)直接把給出的點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合離心率及隱含條件a2=b2+c2聯(lián)立方程組求解a2,b2的值,則橢圓方程可求;
(2)設(shè)出A,B的坐標(biāo),根據(jù)新定義得到P,Q的坐標(biāo),當(dāng)斜率存在時設(shè)出直線方程y=kx+m,聯(lián)立直線和橢圓方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求得x1+x2,x1x2,再由以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)得到A,B的坐標(biāo)之間的關(guān)系3x1x2+4y1y2=0,轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的關(guān)系后代入x1+x2,x1x2,即可把直線的斜率用截距表示,然后利用弦長公式求出AB的長度,用點(diǎn)到直線的距離公式求出O點(diǎn)到AB的距離,利用整體運(yùn)算就能求得三角形OAB的面積,斜率不存在時直線方程可直接設(shè)為x=m,和橢圓方程聯(lián)立求出y2,同樣代入3x1x2+4y1y2=0后可直接求出m的值,則三角形面積可求.
解答:解:(1)由已知得:
(
3
)2
a2
+
(
3
2
)2
b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
1
2
,即
3
a2
+
3
4b2
=1
a2=b2+c2
a=2c
,
 解得a2=4,b2=3,所以橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
+1

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則P(
x1
2
,
y1
3
),Q(
x2
2
,
y2
3
)

1°當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)方程為y=kx+m
 聯(lián)立
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
得:(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.
則有△=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)=48(3+4k2-m2)>0
x1+x2=
-8km
3+4k2
x1x2=
4(m2-3)
3+4k2

由以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O可得:
OP
OQ
=(
x1
2
,
y1
3
)•(
x2
2
y2
3
)=
x1x2
4
+
y1y2
3
=0
,即3x1x2+4y1y2=0•
把y1=kx1+m,y2=kx2+m代入整理得:
(3+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0  ②
將①式代入②式得:3+4k2=2m2,
∵3+4k2>0,∴m2>0,
則△=48m2>0.
又點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=
|m|
1+k2

|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
4
3
3+4k2-m2
3+4k2
=
1+k2
4
3
|m|
3+4k2
=
1+k2
4
3
|m|
2m2


所以S△OAB=
1
2
|AB|d=
2
3
m2
2m2
=
3

2°當(dāng)直線l的斜率不存在時,設(shè)方程為x=m(-2<m<2)
聯(lián)立橢圓方程得:y2=
3(4-m2)
4

代入3x1x2+4y1y2=0得到3m2-
3(4-m2)
4
=0
,即m=±
2
5
5
,y=±
2
15
5

S△OAB=
1
2
|AB|d=
1
2
|m||y1-y2|=
3

綜上:△OAB的面積是定值
3

S△ODE=
1
2
×2×
3
=
3
,所以二者相等.
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線和圓錐曲線的綜合,考查了弦長公式的用法,訓(xùn)練了直線和圓錐曲線關(guān)系中的設(shè)而不求的解題方法,體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想,訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力,該題是有一定難度問題.
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4

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1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值為
1
1

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.
x
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