已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
3
，半焦距為c（c＞0），且a-c=1．經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為k1（k1≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)k1=1時(shí)，求S△AOB的值；
（Ⅲ）設(shè)R（1，0），延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為k2，求證：
k1
k2
為定值．
（Ⅰ）由題意，得
c
a
=
2
3
a-c=1
解得
a=3
c=2

∴b2=a2-c2=5，
故橢圓Γ的方程為
x2
9
+
y2
5
=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），∴直線AB的方程為y=x+2，
由
y=x+2
x2
9
+
y2
5
=1
消去y并整理，得14x2+36x-9=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
18
7
，x1x2=-
9
14
，
∴|AB|=
2
|x1-x2|=
2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
30
7
．
設(shè)O點(diǎn)到直線AB的距離為d，則d=
|0-0+2|
2
=
2
．
∴S△AOB=
1
2
|AB|•d=
1
2
×
30
7
×
2
=
15
2
7
．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），
由已知，直線AR的方程為y=
y1
x1-1
（x-1），即x=
x1-1
y1
y+1．
由
x=
x1-1
y1
y+1
x2
9
+
y2
5
=1
消去x并整理，得
5-x1
y12
y2+
x1-1
y1
y-4=0．
則y1y3=-
4 y12
5-x1
，∵y1≠0，∴y3=
4y1
x1-5
，
∴x3=
x1-1
y1
y3+1=
x1-1
y1
•
4y1
x1-5
+1=
5x1-9
x1-5
．
∴C（
5x1-9
x1-5
，
4y1
x1-5
）．同理D（
5x2-9
x2-5
，
4y2
x2-5
）．
∴k2=
4y1
x1-5
-
4y2
x2-5
5x1-9
x1-5
-
5x2-9
x2-5
=
4y1(x2-5)-4y2(x1-5)
(5x1-9)(x2-5)-(5x2-9)(x1-5)

=
4y1(x2-5)-4y2 (x1-5)
16(x2-x1)
．
∵y1=k1（x1+2），y2=k1（x2+2），
∴k2=
4k1(x1+2)(x2-5)-4k1(x2+2)(x1-5)
16(x2-x1)
=
7k1(x2-x1)
4(x2-x1)
=
7k1
4

∴
k1 
k2
=
4
7
為定值．…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且cos∠F1PF2的最小值為
1
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動(dòng)圓x2+y2=t2（
2
＜t＜
3
）與橢圓C相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)，直線（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒過(guò)的定點(diǎn)F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的最大距離為3，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線MN為垂直于x軸的動(dòng)弦，且M、N均在橢圓C上，定點(diǎn)T（4，0），直線MF與直線NT交于點(diǎn)S．求證：
    ①點(diǎn)S恒在橢圓C上；
    ②求△MST面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率為
1
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)P到F1與F2距離之和為4，
（1）求橢圓C1方程．
（2）若一動(dòng)圓過(guò)F2且與直線x=-1相切，求動(dòng)圓圓心軌跡C方程．
（3）在（2）軌跡C上有兩點(diǎn)M，N，橢圓C1上有兩點(diǎn)P，Q，滿(mǎn)足
MF2
與
NF2
共線，
PF2
與
QF2
共線，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)A、B，短軸上端頂點(diǎn)為M，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且
AF
•
FB
=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C1的方程；
（II）直線l1過(guò)橢圓C1的左焦點(diǎn)F1，且與x軸垂直，動(dòng)直線l2垂直于直線l2，垂足為點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（III）設(shè)C2上的兩個(gè)不同點(diǎn)R、S滿(mǎn)足
OR
•
RS
=0，求|
OS
|的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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同步練習(xí)冊(cè)答案