已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),P為橢圓C上任意一點,且cos∠F1PF2的最小值為
1
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)動圓x2+y2=t2
2
<t<
3
)與橢圓C相交于A、B、C、D四點,當t為何值時,矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積.
分析:(1)根據(jù)橢圓的定義,在△PF1F2中利用余弦定理算出cos∠F1PF2=
4a2-4
2|PF1|•|PF2|
-1
.利用基本不等式算出|PF1|•|PF2|≤a2,結(jié)合a>1得cos∠F1PF2≥1-
2
a2
,從而得到1-
2
a2
=
1
3
,解之得a2=3,進而可得橢圓C的方程;
(2)設(shè)A(x0,y0),得矩形ABCD的面積S=4|x0y0|.利用橢圓方程化簡,可得S滿足:S2=-
32
3
(x 02-
3
2
2+24.再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算,可得當t=
10
2
時矩形ABCD的面積最大,最大面積為2
6
解答:解:(1)因為P是橢圓C上一點,所以|PF1|+|PF2|=2a.
在△PF1F2中,|F1F2|=2,由余弦定理得
cos∠F1PF2=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
2|PF1|•|PF2|
=
4a2-4
2|PF1|•|PF2|
-1

因為|PF1|•|PF2|≤(
|PF 1|+|PF 2|
2
2=a2,當且僅當|PF1|=|PF2|=a時等號成立.
∴由a>1,可得cos∠F1PF2
4a2-4
2a2
-1
=1-
2
a2

∵cos∠F1PF2的最小值為
1
3
,∴1-
2
a2
=
1
3
,解之得a2=3.
又∵c=1,∴b2=a2-c2=2,可得橢圓C的方程為
x2
3
+
y2
2
=1

(2)設(shè)A(x0,y0),則矩形ABCD的面積S=4|x0y0|.
因為
x02
3
+
y02
2
=1
,所以y02=2(1-
1
3
x02)

∴S2=16x02y02=-
32
3
(x 02-
3
2
2+24.
∵-
3
<x0
3
且x0≠0,∴當x02=
3
2
時,S2取得最大值24.
此時y02=1,t=
x02+y02
=
10
2

即當t=
10
2
時,矩形ABCD的面積最大,最大面積為2
6
點評:本題給出橢圓滿足的條件,求橢圓方程并討論矩形面積的最大值.著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理解三角形和基本不等式等知識,屬于中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合,O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點,點D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點,且M,N不與橢圓的頂點重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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