Question

某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為

2

3

和

1

2

，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：
（1）兩種大樹各成活1株的概率；
（2）成活的株數(shù)ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析：（1）甲兩株中活一株符合獨立重復試驗，概率為

C

1  2

2

3

 

1

3

，同理可算乙兩株中活一株的概率，兩值相乘即可．
（2）ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，分別求其概率，列出分布列，再求期望即可．

解答：解：設A_k表示甲種大樹成活k株，k=0，1，2
B_l表示乙種大樹成活1株，1=0，1，2
則A_k，B_l獨立．由獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率公式有
P（A_k）=C₂^k（

2

3

）^k（

1

3

）^2-k，P（B_l）=C₂¹（

1

2

）^l（

1

2

）^2-l．
據(jù)此算得P（A₀）=

1

9

，P（A₁）=

4

9

，P（A₂）=

4

9

．
P（B₀）=

1

4

，P（B₁）=

1

2

，P（B₂）=

1

4

．
（1）所求概率為P（A₂•B₂）=P（A₁）•P（B₁）=

4

9

×

1

2

=

2

9

．
（2）解法一：ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，且
P（ξ=0）=P（A₀•B₀）=P（A₀）•P（B₀）=

1

9

×

1

4

=

1

36

，
P（ξ=1）=P（A₀•B₁）+P（A₁•B₀）=

1

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

1

6

，
P（ξ=2）=P（A₀•B₂）+P（A₁•B₁）+P（A₂•B₀）=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

13

36

，
P（ξ=3）=P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

=

1

3

．
P（ξ=4）=P（A₂•B₂）=

4

9

×

1

4

=

1

9

．
綜上知ξ有分布列

從而，ξ的期望為
Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

（株）．
解法二：分布列的求法同上，令ξ₁，ξ₂分別表示甲乙兩種樹成活的株數(shù)，則
ξ₁：B（2，

2

3

），ξ₂：B（2，

1

2

）
故有Eξ₁=2×

2

3

=

4

3

，Eξ₂=2×

1

2

=1
從而知Eξ=Eξ₁+Eξ₂=

7

3

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、期望、獨立重復試驗的概率等知識，以及利用概率知識分析問題、解決問題的能力．