【題目】已知函數(shù)(, ),曲線在處的切線方程為.
(Ⅰ)求, 的值;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)已知滿足的常數(shù)為.令函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù), ),若是的極值點,且恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1), .(2)詳見解析;(3)
【解析】試題分析:
(1)由導(dǎo)函數(shù)與切線方程的關(guān)系可得, .
(2)利用題意構(gòu)造新函數(shù) ,結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)即可證得 ;
(3)由題意,
當(dāng)時, 無極值,不符合題意;
當(dāng)時, 是函數(shù)的唯一極值點,也是它的唯一最大值點,可得 .
由題意考察函數(shù),可得的取值范圍是.
試題解析:
(Ⅰ)的導(dǎo)函數(shù),
由曲線在處的切線方程為,知, ,
所以, .
(Ⅱ)令 ,則 ,
當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;當(dāng)時, , 單調(diào)遞增,
所以,當(dāng)時, 取得極小值,也即最小值,該最小值為,
所以,即不等式成立.
(Ⅲ)函數(shù)(),則,
當(dāng)時, ,函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增, 無極值,不符合題意;
當(dāng)時,由,得,
結(jié)合, 在上的圖象可知,關(guān)于的方程一定有解,其解為(),且當(dāng)時, , 在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時, , 在內(nèi)單調(diào)遞減.
則是函數(shù)的唯一極值點,也是它的唯一最大值點,
也是在上的唯一零點,即,則.
所以 .
由于恒成立,則,即,(*)
考察函數(shù),則,
所以為內(nèi)的增函數(shù),且, ,
又常數(shù)滿足,即,
所以, 是方程的唯一根,
于是不等式(*)的解為,
又函數(shù)()為增函數(shù),故,
所以的取值范圍是.
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【題目】某理財公司有兩種理財產(chǎn)品和.這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下(每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨立):
產(chǎn)品
產(chǎn)品(其中)
(Ⅰ)已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品和產(chǎn)品進(jìn)行投資,如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于,求的取值范圍;
(Ⅱ)丙要將家中閑置的10萬元錢進(jìn)行投資,以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù),在產(chǎn)品和產(chǎn)品之中選其一,應(yīng)選用哪個?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S. ①當(dāng) 時,S為四邊形
②截面在底面上投影面積恒為定值
③不存在某個位置,使得截面S與平面A1BD垂直
④當(dāng) 時,S與C1D1的交點滿足C1R1=
其中正確命題的個數(shù)為 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】如果二面角α﹣L﹣β的大小是60°,線段AB在α內(nèi),AB與L所成的角為60°,則AB與平面β所成角的正切值是 .
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【題目】已知橢圓 +y2=1的左右焦點分別為F1 , F2 , 直線l過橢圓的右焦點F2與橢圓交于A,B 兩點, (Ⅰ)當(dāng)直線l的斜率為1,點P為橢圓上的動點,滿足使得△ABP的面積為 的點P有幾個?并說明理由.
(Ⅱ)△ABF1的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及此時直線l的方程,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面底面, , ,點, 分別是, 的中點.
(1)證明: 平面;
(2)若, ,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有兩個正根,求m的取值范圍.
(2)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(﹣1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,3)內(nèi),求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】支籃球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽(任兩支球隊恰進(jìn)行一場比賽),任兩支球隊之間勝率都是.單循環(huán)比賽結(jié)束,以獲勝的場次數(shù)作為該隊的成績,成績按從大到小排名次順序,成績相同則名次相同.有下列四個命題:
:恰有四支球隊并列第一名為不可能事件; :有可能出現(xiàn)恰有兩支球隊并列第一名;
:每支球隊都既有勝又有敗的概率為; :五支球隊成績并列第一名的概率為.
其中真命題是
A. ,, B. ,, C. .. D. ..
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