Question

在圓O：x²+y²=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作X軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)．
（1）求線段PD的中點(diǎn)M軌跡方程．
（2）若圓M與圓O關(guān)于直線l：y=x-2對(duì)稱，求圓M的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)PD中點(diǎn)M（x，y），P（x′，y′），依題意x=x′，
∴x′=x，y′=2y
又點(diǎn)P在圓O：x²+y²=4上，∴（x′）²+（y′）²=4，即x²+4y²=4
∴線段PD的中點(diǎn)M軌跡方程為x²+4y²=4；
（2）設(shè)M（a，b），則，∴a=2，b=-2
∴M（2，-2）
∵圓M與圓O關(guān)于直線l：y=x-2對(duì)稱，
∴圓M的方程為（x-2）²+（y+2）²=4
分析：（1）確定P、D坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)P在圓C：x²+y²=4上，即可求得線段PD中點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）求出點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得到圓M的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查對(duì)稱性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．