【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為F,過橢圓C中心的弦PQ長為2,且∠PFQ=90°,△PQF的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)A1、A2分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),S為直線 上一動(dòng)點(diǎn),直線A1S交橢圓C于點(diǎn)M,直線A2S交橢圓于點(diǎn)N,設(shè)S1、S2分別為△A1SA2、△MSN的面積,求 的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)弦PQ過橢圓中心,且∠PFQ=90°,則c=丨OF丨= 丨PQ丨=1,
不妨設(shè)P(x0 , y0)(x0 , y0>0),
∴,△PQF的面積= ×丨OF丨×2y0=y0=1,則x0=1,b=1,
a2=b2+c2=2,
∴橢圓方程為 +y2=1;
(Ⅱ)設(shè)S(2 ,t),直線A1S:x= y﹣ ,則 ,
整理( +2)y2﹣ y=0,解得y1= ,
同理,設(shè)直線A2S:x= y+ ,
得( +2)y2+ y=0,解得y1=﹣ ,
則 =丨 × 丨
≤ × = ,
當(dāng)且僅當(dāng)t2+9=3t2+3,即t=± 時(shí)取“=”
【解析】(Ⅰ)由c=丨OF丨= 丨PQ丨=1,根據(jù)三角形的面積公式,即可求得b的值,a2=b2+c2=2,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)S點(diǎn)坐標(biāo),求直線A1S及A2S代入橢圓方程,求得M和N點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì),即可求得 的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 為正四棱錐側(cè)棱上異于, 的一點(diǎn),給出下列結(jié)論:
①側(cè)面可以是正三角形.
②側(cè)面可以是直角三角形.
③側(cè)面上存在直線與平行.
④側(cè)面上存在直線與垂直.
其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.
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【題目】如圖,設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為線段PD上一點(diǎn),且,
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被軌跡C所截線段的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,平面ABC,,,E是BC的中點(diǎn).
求證:;
求異面直線AE與所成的角的大小;
若G為中點(diǎn),求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,且,設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減, 函數(shù)在上為增函數(shù), 為假, 為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的空間幾何體中,四邊形是邊長為2的正方形, 平面, , , , .
(1)求證:平面平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三條直線l1:2x-y+a=0(a>0),直線l2:4x-2y-1=0和直線l3:x+y-1=0,且l1和l2的距離是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一點(diǎn)P,使得P點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:①P是第一象限的點(diǎn);②P點(diǎn)到l1的距離是P點(diǎn)到l2的距離的;③P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離之比是?若能,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額 (單位:萬元)具有較強(qiáng)的相關(guān)性,且兩者之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
28 | 36 | 52 | 56 | 78 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)根據(jù)(1)中的線性回歸方程,當(dāng)廣告費(fèi)支出為10萬元時(shí),預(yù)測銷售額是多少?
參考數(shù)據(jù): ,,。
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本為,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),(萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)(萬元).每件商品售價(jià)為0.05萬元.通過分析,該工廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
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