(理科)函數(shù)y=x+
a
x
(a是常數(shù),且a>0)
有如下性質(zhì):①函數(shù)是奇函數(shù);②函數(shù)在(0,
a
]
上是減函數(shù),在[
a
,+∞)
上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+
2b
x
(x>0)的值域是[6,+∞),求b的值;
(2)判斷函數(shù)y=x2+
c
x2
(常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的奇偶性和單調(diào)性,并加以證明;
(3)對函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
c
x2
(常數(shù)c>0)分別作出推廣,使它們是你推廣的函數(shù)的特例.判斷推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只需寫出結(jié)論,不要證明).
(1)∵2b>0,x>0,∴
2b
x
>0,∴y=x+
2b
x
≥2
x•
2b
x
=2
2b
,當(dāng)且僅當(dāng)x=
2b
x
,x2=2b時等號成立.
又∵函數(shù)的值域是[6,+∞),即y≥6,∴2
2b
=6,解得,b=long29.
(2)設(shè)f(x)=x2+
c
x2
,因為x∈(-∞,0)∪(0,+∞)

f(-x)=(-x)2+
c
(-x)2
=x2+
c
x2
=f(x)
,
∴函數(shù)f(x)=x2+
c
x2
為偶函數(shù).
設(shè)0<x1x2,f(x2)-f(x1)=
x22
+
c
x22
-
x21
-
c
x21
=(
x22
-
x21
)(1-
c
x21
x22
)
=(
x 1
-
x 2
)(x1+x2)
(x12x22-c )
x21
x22

當(dāng)
4c
x1x2時,f(x2)>f(x1)

∴函數(shù)f(x)=x2+
c
x2
[
4c
,+∞)
上是增函數(shù);
當(dāng)0x1x2
4c
,f(x2)<f(x1)
,f(x)在(0,
4c
]為減函數(shù),
設(shè)x1x2≤-
4c
,,則-x1>-x2
4c
,因f(x)=x2+
c
x2
是偶函數(shù),
∴f(x1)-f(x2)=f(-x1)-f(-x2)>0,
∴函數(shù)f(x)=x2+
c
x2
在(-∞,-
4c
]
上是減函數(shù),
同理可證,函數(shù)f(x)=x2+
c
x2
在[-
4c
,0)
上是增函數(shù).
(3)可以推廣為研究函數(shù)y=xn+
a
xn
(常數(shù)a>0,n是正整數(shù))
的單調(diào)性.
當(dāng)n是奇數(shù)時,函數(shù)y=xn+
a
xn
在[
2na
,+∞)和(-∞,-
2na
]
上是增函數(shù),
(0,
2na
]和[-
2na
,0)
上是減函數(shù);
當(dāng)n是偶數(shù)時,函數(shù)y=xn+
a
xn
在[
2na
,+∞)和[-
2na
,0)
上是增函數(shù),
(0,
2na
]和[-∞,-
2na
)
上是減函數(shù);
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理科)函數(shù)y=x+
a
x
(a是常數(shù),且a>0)
有如下性質(zhì):①函數(shù)是奇函數(shù);②函數(shù)在(0,
a
]
上是減函數(shù),在[
a
,+∞)
上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+
2b
x
(x>0)的值域是[6,+∞),求b的值;
(2)判斷函數(shù)y=x2+
c
x2
(常數(shù)c>0)在定義域內(nèi)的奇偶性和單調(diào)性,并加以證明;
(3)對函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
c
x2
(常數(shù)c>0)分別作出推廣,使它們是你推廣的函數(shù)的特例.判斷推廣后的函數(shù)的單調(diào)性(只需寫出結(jié)論,不要證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理科)已知函數(shù)y=f(x),x∈R滿足f(x+1)=af(x),a是不為0的實常數(shù).
(1)若函數(shù)y=f(x),x∈R是周期函數(shù),寫出符合條件a的值;
(2)若當(dāng)0≤x<1時,f(x)=x(1-x),且函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的值域是閉區(qū)間,求a的取值范圍;
(3)若當(dāng)0<x≤1時,f(x)=3x+3-x,試研究函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是否可能是單調(diào)函數(shù)?若可能,求出a的取值范圍;若不可能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理科)已知函數(shù)y=f(x),x∈R,對任意實數(shù),x均有f(x)<f(x+a),a是正的實常數(shù),下列結(jié)論中說法正確的序號是
(3)(4)
(3)(4)
;
(1)f(x)一定是增函數(shù);
(2)f(x)不一定是增函數(shù),但滿足上述條件的所有f(x)一定存在遞增區(qū)間;
(3)存在滿足上述條件的f(x),但它找不到遞增區(qū)間;
(4)存在滿足上述條件的函數(shù)f(x),既有遞增區(qū)間又有遞減區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理科做)已知函數(shù)f(x)=x2-ax+3在(0,1)上為減函數(shù),函數(shù)g(x)=x2-alnx在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)當(dāng)-1<m<0時,判斷方程f(x)=2g(x)+m的解的個數(shù),并說明理由;
(3)設(shè)函數(shù)y=f(bx)(其中0<b<1)的圖象C1與函數(shù)y=g(x)的圖象C2交于P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1、C2于點M、N.證明:曲線C1在點M處的切線與曲線C2在點N處的切線不平行.

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