Question

（理科做）已知函數(shù)f（x）=x²-ax+3在（0，1）上為減函數(shù)，函數(shù)g（x）=x²-alnx在區(qū)間（1，2）上為增函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）當-1＜m＜0時，判斷方程f（x）=2g（x）+m的解的個數(shù)，并說明理由；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（bx）（其中0＜b＜1）的圖象C₁與函數(shù)y=g（x）的圖象C₂交于P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N．證明：曲線C₁在點M處的切線與曲線C₂在點N處的切線不平行．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=x²-ax+3在（0，1）上為減函數(shù)可得a≥2，再根據(jù)函數(shù)g（x）=x²-alnx在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，得到a≤2，因此可得a=2．
（2）將方程f（x）=2g（x）+m轉(zhuǎn)化為2g（x）+m-f（x）=0，可設(shè)出h（x）=2g（x）+m-f（x）=x²+2x-4lnx+m-3，通過求導數(shù)討論函數(shù)h（x）的單調(diào)性得到h_min（x）=h（1）=m，最后用根的存在性定理可以驗證，得到f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上有兩個解．
（3）分三步走：
①根據(jù)導數(shù)的幾何意義分別求出曲線C₁、C₂在點M、N的斜率關(guān)于橫坐標的關(guān)系式；
②假設(shè)兩切線平行，得到k₁=k₂，通過去分母整理變形為：f（bx₁）+f（bx₂）+2b²x₁x₂=x₁²+2x₁x₂+x₂²+2，利用
f（bx₁）+f（bx₂）=g（x₁）+g（x₂）代入再整理，可得到lnx₁x₂=（b²-1）x₁x₂-1；
③以x₁x₂=t為自變量進行研究，得到一個新的函數(shù)F（t）=（1-b²）t+lnt+1，可用導數(shù)證得F（t）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增且最小值大于1，從而說明k₁=k₂變形得到的方程無實數(shù)根．
由以上三步可知：曲線C₁在點M處的切線與曲線C₂在點N處的切線不平行．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-ax+3圖象是開口向上的拋物線，
關(guān)于直線x=

a

2

對稱，在（0，1）上為減函數(shù)，
∴

a

2

≥1，得a≥2…2分
又∵函數(shù)g（x）=x²-alnx在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)
∴g′(x)=2x-

a

x

，解g′（x）≥0得2x²≥a
∴a≤（2x²）_min=2m，所以a=2…4分
（2）令h（x）=2g（x）+m-f（x）=x²+2x-4lnx+m-3
可得h′(x)=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上為減函數(shù)
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)…7分
h_min（x）=h（1）=m
∴h（x）≥h（1）=m…10分
當-1＜m＜0時，
∵h(

1

e

)=

1

e2

+

2

e

+1+m＞0，h(1)=m＜0
h（e）=e²+2e+m-7＞e²+2e-8＞0
∴∴h（x）在區(qū)間(

1

e

，1)和（1，e）內(nèi)各有一個零點
即f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上有兩個解…14分．
（3）設(shè)點P、Q的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標都為x=

x1+x2

2

，
C₁：y=f（bx）=b²x²-2bx+3在點M處的切線斜率為2b²x-2b，
取x=

x1+x2

2

，得k₁=2b²•（

x1+x2

2

）-2b=b²（x₁+x₂）-2b，
C₂：g（x）=x²-2lnx在點N處的切線斜率為2x-

2

x

，
取x=

x1+x2

2

，k₂=（x₁+x₂）-

4

x1+x2

．
假設(shè)C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂
可得：b²（x₁+x₂）-2b=（x₁+x₂）-

4

x1+x2

．
∴b²（x₁+x₂）²-2b（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²-4
即b²x₁²+2b²x₁x₂+b²x₂²-2b（x₁+x₂）=x₁²+2x₁x₂+x₂²-4
∴（b²x₁²-2bx₁+3）+（b²x₂²-2bx₂+3）+2b²x₁x₂=x₁²+2x₁x₂+x₂²+2
即f（bx₁）+f（bx₂）+2b²x₁x₂=x₁²+2x₁x₂+x₂²+2
∵f（bx₁）+f（bx₂）=g（x₁）+g（x₂）
∴x₁²-2lnx₁+x₂²-2lnx₂+2b²x₁x₂=x₁²+2x₁x₂+x₂²+2
即2lnx₁+2lnx₂=（2b²-2）x₁x₂-2⇒lnx₁x₂=（b²-1）x₁x₂-1
令x₁x₂=t（t＞0），得lnt=（b²-1）t-1⇒（1-b²）t+lnt+1=0…（*）
再設(shè)F（t）=（1-b²）t+lnt+1，因0＜b＜1得F′（t）=1-b²+

1

t

＞0恒成立，
又∵t＞0∴F（t）＞1恒為正數(shù)，說明方程（*）在（0，+∞）上沒有解，
從而原假設(shè)不成立，說明k₁≠k₂
綜上所述，可得曲線C₁在點M處的切線與曲線C₂在點N處的切線不平行．

點評：本題著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、根的存在性及根的個數(shù)判斷和利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等知識點，屬于難題．請同學們注意解題過程中的轉(zhuǎn)化化歸和分類討論的數(shù)學思想．