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【題目】如圖（甲），是邊長為的等邊三角形，點分別為的中點，將沿折成四棱錐，使，如圖（乙）．

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理，直接證明，即可得出結論成立；

（2）由題意，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立坐標系，求出平面的一個法向量，以及直線的方向向量，由向量夾角公式，即可求出結果.

（1）證明：在中，，，，

所以，

則有，即．

又因為，，平面，

所以平面．

（2）由（1）知，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標系．

則，，，，易知P在底面的射影為AC與BD的交點，所以

．

，，．

設平面的法向量為，直線和平面所成角為，

則即

令，得．

，

所以直線和平面所成角的正弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在《周髀算經》中，把圓及其內接正方形稱為圓方圖，把正方形及其內切圓稱為方圓圖.圓方圖和方圓圖在我國古代的設計和建筑領域有著廣泛的應用.山西應縣木塔是我國現存最古老、最高大的純木結構樓閣式建筑，它的正面圖如圖所示.以該木塔底層的邊作方形，會發(fā)現塔的高度正好跟此對角線長度相等.以塔底座的邊作方形.作方圓圖，會發(fā)現方圓的切點正好位于塔身和塔頂的分界.經測量發(fā)現，木塔底層的邊不少于米，塔頂到點的距離不超過米，則該木塔的高度可能是（參考數據：）（ ）

A.米B.米C.米D.米

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知F1，F2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，過橢圓的上頂點的直線x+y=1被橢圓截得的弦的中點坐標為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，當△ABF2面積最大時，求直線l的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面是正方形，側面底面，，，是的中點，點在上，且.

（1）求證：；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】千百年來，人們一直在通過不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書、快馬驛站等通信方式被人們廣泛傳知；第二次工業(yè)革命后，科技的進步帶動了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報電話的發(fā)明讓通信領域發(fā)生了翻天覆地的變化；之后，計算機和互聯網的出現則.使得“千里眼”“順風耳”變?yōu)楝F實……此時此刻，5G的到來即將給人們的生活帶來顛覆性的變革，“5G領先”一方面是源于我國項層設計的宏觀布局，另一方面則來自于政府高度重視、企業(yè)積極搶灘、企業(yè)層面的科技創(chuàng)新能力和先發(fā)優(yōu)勢.某科技創(chuàng)新公司基于領先技術的支持，豐富的移動互聯網應用等明顯優(yōu)勢，隨著技術的不斷完善，該公司的5G經濟收入在短期內逐月攀升，業(yè)內預測，該創(chuàng)新公司在第1個月至第7個月的5G經濟收入y（單位：百萬元）關于月份x的數據如下表：

時間（月份）

1

2

3

4

5

6

7

收入（百萬元）

6

11

21

34

66

101

196

根據以上數據繪制散點圖：

（1）為了更充分運用大數據、人工智能、5G等技術，公司需要派出員工實地考察檢測產品性能和使用狀況，公司領導要從報名的五名科技人員A、B、C、D、E中隨機抽取3個人前往，則A、B同時被抽到的概率為多少？

（2）根據散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于零的常數）哪一個適宜作為5G經濟收入y關于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并根據你判斷結果及表中的數據，求出y關于x的回歸方程；

（3）請你預測該公司8月份的5G經濟收入.

參考數據：

462

10.78

2711

50.12

2.82

3.47

其中設，

參考公式：

對于一組具有線性相關系的數據（，2，3，…，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,四棱錐中，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線經過點且傾斜角為，，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）過原點作直線的垂線，垂足為，交曲線于另一點，當變化時，求的面積的最大值及相應的的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中中，是邊長為的等邊三角形，底面為直角梯形，，，，．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

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