本小題滿分12分)
今有一長(zhǎng)2米寬1米的矩形鐵皮,如圖,在四個(gè)角上分別截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x米的正方形后,沿虛線折起可做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形水箱(接口連接問(wèn)題不考慮).
(Ⅰ)求水箱容積的表達(dá)式,并指出函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)若要使水箱容積不大于立方米的同時(shí),又使得底面積最大,求x的值.
(1) {x|0<x<} (2)
解析試題分析:解:(Ⅰ)由已知該長(zhǎng)方體形水箱高為x米,底面矩形長(zhǎng)為(2-2x)米,寬(1-2x)米.
∴該水箱容積為
f(x)=(2-2x)(1-2x)x=4x3-6x2+2x. ………………………4分
其中正數(shù)x滿足∴0<x<.
∴所求函數(shù)f(x)定義域?yàn)閧x|0<x<}.………………………6分
(Ⅱ)由f(x)≤4x3,得x ≤ 0或x ≥,
∵定義域?yàn)閧x|0<x<},∴ ≤ x<.………………………8分
此時(shí)的底面積為S(x)=(2-2x)(1-2x)=4x2-6x+2
(x∈[,)).由S(x)=4(x-)2-,………………………10分
可知S(x)在[ ,)上是單調(diào)減函數(shù),
∴x=.即滿足條件的x是.………………………12分
考點(diǎn):本試題考查了函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用。
點(diǎn)評(píng):對(duì)于實(shí)際運(yùn)用題,要準(zhǔn)確的審清題意,并能抽象出函數(shù)關(guān)系式,然后結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)來(lái)分析定義域和單調(diào)性,以及求解最值的問(wèn)題。注意實(shí)際問(wèn)題中,變量的范圍確定,要符合實(shí)際意義,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1) 求的值;
(2) 設(shè),若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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(本題滿分12分)
一次函數(shù)與指數(shù)型函數(shù),()的圖像交于兩點(diǎn),解答下列各題
:
(1)求一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的表達(dá)式;
(2)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像;
(3)填空:當(dāng) 時(shí),;當(dāng) 時(shí),。
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已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
(1)求m的值;(2)判斷在上的單調(diào)性,并根據(jù)定義證明。
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已知二次函數(shù)的最小值為1,且。
(1)求的解析式;
(2)若在區(qū)間上不單調(diào),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)在區(qū)間上,的圖象恒在的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍。
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