Question

【題目】已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；

（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點，證明：

（�。�；

（ⅱ）．

Answer 1

【答案】（I）證明見解析，（II）（i）證明見解析，（ii）證明見解析.

【解析】

（I）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理證明結(jié)論；

（II）（i）先根據(jù)零點化簡不等式，轉(zhuǎn)化求兩個不等式恒成立，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值，即可證得不等式；

（ii）先根據(jù)零點條件轉(zhuǎn)化：，再根據(jù)放縮，轉(zhuǎn)化為證明不等式，最后構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.

（I）在上單調(diào)遞增，

，

所以由零點存在定理得在上有唯一零點；

（II）（i），

，

令

一方面： ，

在單調(diào)遞增，，

，

另一方面：，

所以當(dāng)時，成立，

因此只需證明當(dāng)時，

因為

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，

在單調(diào)遞減，，，

綜上，.

（ii），

，，

，因為，所以，

，

只需證明，

即只需證明，

令，

則，

，即成立，

因此.