設(shè)f(x)=x3-
x22
-2x+5
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍..
分析:(1)先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)=x3-
x2
2
-2x+5的單調(diào)區(qū)間,從而確定函數(shù)的極值;
(2)恒成立問題可轉(zhuǎn)化成f(x)max<m即可.函數(shù)在[-1,2]上的最大值,利用極值與端點(diǎn)的函數(shù)值可以確定.
解答:解:(1)f′(x)=3x2-x-2=0,解得x=1,-
2
3
,
∵函數(shù)在(-∞,-
2
3
),(1,+∞)上單調(diào)增,在(-
2
3
,1)上單調(diào)減
∴函數(shù)的極大值為f(-
2
3
)=5
22
27
,極小值f(1)=3
1
2
,
(2)∵f(-1)=5
1
2
,f(-
2
3
)=5
22
27
,f(1)=3
1
2
,f(2)=7;
即f(x)max=7,
要使當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),f(x)<m恒成立,只需f(x)max<m即可
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(7,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題以函數(shù)為載體,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的極值,同時(shí)考查了恒成立問題的處理,注意利用好導(dǎo)數(shù)工具.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

3、設(shè)f(x)=x3+x-8,現(xiàn)用二分法求方程x3+x-8=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解,計(jì)算得f(1)<0,f(1.5)<0,f(1.75)<0,f(2)>0,則方程的根所在的區(qū)間是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=x3+ax2+bx+c,又k是一個(gè)常數(shù),已知當(dāng)k<0或k>4時(shí),f(x)-k=0只有一個(gè)實(shí)根,當(dāng)0<k<4時(shí),f(x)-k=0有三個(gè)相異實(shí)根,現(xiàn)給出下列命題:
(1)f(x)-4=0和f′(x)=0有且只有一個(gè)相同的實(shí)根.
(2)f(x)=0和f′(x)=0有且只有一個(gè)相同的實(shí)根.
(3)f(x)+3=0的任一實(shí)根大于f(x)-1=0的任一實(shí)根.
(4)f(x)+5=0的任一實(shí)根小于f(x)-2=0的任一實(shí)根.
其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•韶關(guān)一模)設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義,若對(duì)?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,則稱f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù);若對(duì)?x1,x2∈I,都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
,則稱f(x)是區(qū)間I的向下凸函數(shù),有下列四個(gè)判斷:
①若f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù),則-f(x)在區(qū)間I的向下凸函數(shù);
②若f(x)和g(x)都是區(qū)間I的向上凸函數(shù),則f(x)+g(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù);
③若f(x)在區(qū)間I的向下凸函數(shù),且f(x)≠0,則
1
f(x)
是區(qū)間I的向上凸函數(shù);
④若f(x)是區(qū)間I的向上凸函數(shù),?x1,x2,x3,x4∈I,則有f(
x1+x2+x3+x4
4
)≥
f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2006•朝陽(yáng)區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=x3-
3
2
mx2+n
,1<m<2
(Ⅰ)若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為1,最小值為-2,求m、n的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),函數(shù)F(x)=
g(x)+3x+1
6
e2x
,試判斷函數(shù)F(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并求出相應(yīng)實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列;
④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個(gè)不同的根.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。

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