Question

（2013•韶關(guān)一模）設(shè)f（x）在區(qū)間I上有定義，若對(duì)?x₁，x₂∈I，都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，則稱f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；若對(duì)?x₁，x₂∈I，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

，則稱f（x）是區(qū)間I的向下凸函數(shù)，有下列四個(gè)判斷：
①若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則-f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)；
②若f（x）和g（x）都是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則f（x）+g（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；
③若f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)，且f（x）≠0，則

1

f(x)

是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；
④若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，則有f（

x1+x2+x3+x4

4

）≥

f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)

4

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對(duì)于①②④直接利用函數(shù)是“凸函數(shù)”的定義，通過(guò)放縮法證明即可；對(duì)于③利用舉反例的方法結(jié)合圖象法即可進(jìn)行判斷．

解答：解：①若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則對(duì)?x₁，x₂∈I，都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，
∴-f(

x1+x2

2

)≤

-f(x1)-f(x2)

2

，
∴-f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)；正確．
②若f（x）和g（x）都是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，則對(duì)?x₁，x₂∈I，都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，
g(

x1+x2

2

)≥

g(x1)+g(x2)

2

，兩式相加得f(

x1+x2

2

)+g(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

+

g(x1)+g(x2)

2

∴f（x）+g（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；正確．
③若f（x）在區(qū)間I的向下凸函數(shù)，且f（x）≠0，則

1

f(x)

不一定是區(qū)間I的向上凸函數(shù)；
如f（x）=e^x，

1

f(x)

=(

1

e

)x，如圖，

它們都是向下凸函數(shù)．故錯(cuò)．
④若f（x）是區(qū)間I的向上凸函數(shù)，
?x₁，x₂，x₃，x₄∈I，則有f（

x1+x2+x3+x4

4

）=f（

x1+x2 2 + x3+x4 2

2

）≥

f( x1+x2 2 )+f( x3+x4 2 )

2

≥

f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)

4

，故正確．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是3．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用以及放縮法證明問(wèn)題的步驟，新定義的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．