Question

【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）證明 ：.

Answer 1

【答案】（1）0（2）見解析

【解析】分析：(1)由題意可得，明確函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最大值；

（2）由（1）得，即，要證，

即，故只需證，故只需證，

即證成立.

詳解：（1）因?yàn)?/span>，所以 ，

，

解得則，

所以，

令，得，令得，

所以當(dāng)時(shí)，.

（2）由（1）得的最大值為0，

所以，即，

從而，

要證，

即，

故只需證，

即證成立；

令

則，

令，則，

令，得，

因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增， 即單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，，

由零點(diǎn)存在定理可知，，使得，

故當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

所以的最小值是或.

由，得，

，

因?yàn)?/span>，所以，

故當(dāng)時(shí)，，所以原不等式成立.