【題目】已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若同時(shí)滿足條件:
x∈R,f(x)<0或g(x)<0;
x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0.
則m的取值范圍是

【答案】(﹣4,﹣2)
【解析】解:對(duì)于①∵g(x)=2x﹣2,當(dāng)x<1時(shí),g(x)<0,
又∵①x∈R,f(x)<0或g(x)<0
∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1時(shí)恒成立
則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開(kāi)口只能向下,且二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)都在(1,0)的左面

∴﹣4<m<0即①成立的范圍為﹣4<m<0
又∵②x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0
∴此時(shí)g(x)=2x﹣2<0恒成立
∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)>0在x∈(﹣∞,﹣4)有成立的可能,則只要﹣4比x1 , x2中的較小的根大即可,
(i)當(dāng)﹣1<m<0時(shí),較小的根為﹣m﹣3,﹣m﹣3<﹣4不成立,
(ii)當(dāng)m=﹣1時(shí),兩個(gè)根同為﹣2>﹣4,不成立,
(iii)當(dāng)﹣4<m<﹣1時(shí),較小的根為2m,2m<﹣4即m<﹣2成立.
綜上可得①②成立時(shí)﹣4<m<﹣2.
故答案為:(﹣4,﹣2).

①由于g(x)=2x﹣2≥0時(shí),x≥1,根據(jù)題意有f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x>1時(shí)成立,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求
②由于x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0,而g(x)=2x﹣2<0,則f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)>0在x∈(﹣∞,﹣4)時(shí)成立,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

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(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
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