已知橢圓的一條準線為x=-4,且與拋物線y2=8x有相同的焦點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P是該橢圓的左準線與x軸的交點,過點P的直線l與橢圓相交于M、N兩點,且線段MN的中點恰好落在由該橢圓的兩個焦點、兩個短軸頂點所圍成的四邊形區(qū)域內(nèi)(包括邊界),求此時直線l斜率的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)依題意,得,且c=2,可求得a,b,從而求得橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=k(x+4).將其代入代入橢圓得到關(guān)于x的二次方程,其根的判別式大于0得k的取值范圍,再依據(jù)線段MN的中點恰好落在由該橢圓的兩個焦點、兩個短軸頂點所圍成的四邊形區(qū)域內(nèi)(包括邊界),得到不等關(guān)系求得k的范圍,最后求出它們的交集即可.
解答:解:(Ⅰ)依題意,得,且c=2,
可求得a=2,b=2,
易知橢圓的方程為;
(Ⅱ)橢圓的左準線方程為x=-4,點P的坐標(-4,0),
顯然直線l的斜率k存在,所以直線l的方程為y=k(x+4).
設(shè)點M、N的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)線段MN的中點為E(x,y),
將y=k(x+4)代入橢圓,得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0.①
由△=(16k22-4(1+2k2)(32k2-8)>0解得.②
,
于是
因為,所以點E不可能在y軸的右邊,
又直線F1B2、F1B1,方程分別為y=x+2,y=-(x+2),
則必有
,
亦即
解得,此時②也成立.
點評:直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法,要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓的一條準線方程是其左、右頂點分別是A、B;雙曲線的一條漸近線方程為3x-5y=0.

(Ⅰ)求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率;

(Ⅱ)在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點P,連結(jié)AP交橢圓C1于點M,連結(jié)PB并延長交橢圓C1于點N,若. 求證:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010年四川省成都市石室中學高考數(shù)學模擬試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓的一條準線為x=-4,且與拋物線y2=8x有相同的焦點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P是該橢圓的左準線與x軸的交點,過點P的直線l與橢圓相交于M、N兩點,且線段MN的中點恰好落在由該橢圓的兩個焦點、兩個短軸頂點所圍成的四邊形區(qū)域內(nèi)(包括邊界),求此時直線l斜率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010年四川省成都市石室中學高考數(shù)學三模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓的一條準線為x=-4,且與拋物線y2=8x有相同的焦點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P是該橢圓的左準線與x軸的交點,過點P的直線l與橢圓相交于M、N兩點,且線段MN的中點恰好落在由該橢圓的兩個焦點、兩個短軸頂點所圍成的四邊形區(qū)域內(nèi)(包括邊界),求此時直線l斜率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:四川省成都石室中學2010屆高三高考模擬(理) 題型:解答題

 已知橢圓的一條準線為,且與拋物線有相同的焦點.  

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)點是該橢圓的左準線與軸的交點,是否存在過點的直線與橢圓相交于兩點,且線段的中點恰好落到由該橢圓的兩個焦點、兩個短軸頂點所圍成的四邊形區(qū)域內(nèi)(包括邊界)?若存在,求出直線的斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.  

 

 

 

 

 

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案