Question

已知定點A（-3，0），B（3，0），動點P在拋物線y²=2x上的移動，則

PA

•

PB

的最小值等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設點P的坐標為（

1

2

t2，t），從而得到向量

PA

、

PB

關于t的坐標形式，算出

PA

•

PB

=

1

4

t4+t2-9．再根據(jù)平方非負的性質加以計算，可得當點P與原點重合時

PA

•

PB

的最小值為-9．

解答：解：由點P在拋物線y²=2x上的移動，設點P的坐標為（

1

2

t2，t），
∵A（-3，0）、B（3，0），∴

PA

=（-3-

1

2

t2，-t），

PB

=（3-

1

2

t2，-t），
根據(jù)向量數(shù)量積的公式，
可得

PA

•

PB

=（-3-

1

2

t2）（3-

1

2

t2）+t²=

1

4

t4+t2-9，
∵

1

4

t4≥0且t²≥0，當且僅當t=0時即P坐標為（0，0）時，等號成立．
∴

PA

•

PB

=

1

4

t4+t2-9≥-9，當點P與原點重合時

PA

•

PB

的最小值為-9．
故答案為：-9

點評：本題給出定點A、B的坐標與拋物線上的動點P，求

PA

•

PB

的最小值，著重考查了向量數(shù)量積的坐標公式、拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．