Question

己知：函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上單凋遞增，在（-1，2）上單調遞減，不等式f（x）＞x²-4x+5的解集為（4，+∞）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）=

f′(x)

3(x-2)

-(m+1)ln(x+m)，求h（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)函數(shù)的單調性可知f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩個根-1，2，求出a和b，然后根據(jù)不等式f（x）＞x²-4x+5的解集為（4，+∞）求出c，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）先求出函數(shù)h（x）的解析式，然后討論m的取值范圍，根據(jù)導函數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系求出相應的單調區(qū)間，從而求出所求．

解答：解：（Ⅰ）在（-∞，-1），（2，+∞）上單凋遞增，在（-1，2）上單調遞減，
∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩個根-1，2
利用根與系數(shù)的關系可知a=-

3

2

，b=-6
∴f（x）=x³-

3

2

x²-6x+c，
∵不等式f（x）＞x²-4x+5的解集為（4，+∞）．
∴c=-11
∴f（x）=x³-

3

2

x²-6x-11，
 （Ⅱ）f'（x）=3x²-3x-6=3（x+1）（x-2），
∴h（x）=

f′(x)

3(x-2)

-(m+1)ln(x+m)=（x+1）-（m+1）ln（x+m）（x＞-m且，x≠2）
 當m≤-2時，-m≥2，定義域：（-m，+∞），
 h'（x）＞0恒成立，h（x）在（-m，+∞）上單增；   
 當-2＜m≤-1時，定義域：（-m，2）∪（2，+∞）
  h'（x）恒成立，h（x）在（-m，2）與（2，+∞）上單增；
 當m＞-1時，-m＜1，定義域：（-m，2）∪（2，+∞）
 由 h'（x）＞0得x＞1，由h'（x）＜0 得x＜1．
  故在（1，2），（2，+∞）上單增；在（-m，1）上單減，
綜上所述，當m≤-2時，h（x）在（-m，+∞）上單增；
當-2＜m≤-1時，h（x）在（-m，2）與（2，+∞）上單增；
當m＞-1時，在（1，2），（2，+∞）上單增；在（-m，1）單減．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，函數(shù)與方程的綜合運用，是一道綜合題，同時考查了計算能力，轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．