Question

己知．函數(shù)f（x）=（x≠-1）的反函數(shù)是f^-1（x）．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對任意的正整數(shù)都有a_n=成立，且b_n=f^-1（a_n）•
（I）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N），設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對任意正整數(shù)n都有T_n＜；
（III）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為R_n，已知正實(shí)數(shù)λ滿足：對任意正整數(shù)n，R_n≤λn恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件能導(dǎo)出a_n+1-a_n=5a_n+1，即 ，所以 ，∴．
（Ⅱ）由 ，知 =，當(dāng)n=1時，；當(dāng)n≥2時，
．
（Ⅲ）由 知R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1==＞4n-1．由此入手能推導(dǎo)出正實(shí)數(shù)λ的最小值為4．
解答：解：（I）由題意得f^-1（x）=（x≠1）
由a_n=得a_n=5S_n+1…1分
當(dāng)n=1時，a₁=5a₁+1，則a₁=-
又a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，
即a_n+1=-a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以-為首項(xiàng)，以-為公比的等比數(shù)列，…2分
∴a_n=，
∴b_n=…3分
（II）由（I）中b_n=
∴c_n=b_2n-b_2n-1=-=＜=…4分
又∵b₁=3，b₂=，
∴c₁=，即當(dāng)n=1時，T_n＜成立…5分
當(dāng)n≥2時，T_n＜+=+25×＜=+25×=＜成立
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時，設(shè)n=2k+1（k∈N⁺）
則R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1=
=＞4n-1
∴λn≥R_n＞4n-1，即（λ-4）n＞-1對一切大于1的奇數(shù)n恒成立
∴λ≥4否則，（λ-4）n＞-1只對滿足 的正奇數(shù)n成立，矛盾．
另一方面，當(dāng)λ=4時，對一切的正整數(shù)n都有R_n≤4n
事實(shí)上，對任意的正整數(shù)k，有

=
=
∴當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）＜8m=4n
當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m-1（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-3+b_2n-2）+b_2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對一切的正整數(shù)n，都有R_n≤4n
綜上所述，正實(shí)數(shù)λ的最小值為4
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．