Question

下列四個命題：
①直線l的斜率k∈[-1，1]，則直線l的傾斜角α∈[-

π

4

，

π

4

]；
②直線l：y=kx+1與以A（-1，5）、B（4，-2）兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段相交，則k≤-4或k≥-

3

4

；
③如果實(shí)數(shù)x，y滿足方程（x-2）²+y²=3，那么

y

x

的最大值為

3

；
④直線y=kx+1與橢圓

x2

5

+

y2

m

=1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是m≥1．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：由直線傾斜角的范圍判斷①錯誤；求出直線l恒過的定點(diǎn)M，再求出MA和MB所在直線的斜率判斷②正確；
由

y

x

的幾何意義可知

y

x

是連接圓上的動點(diǎn)和原點(diǎn)的連線的斜率，求出過原點(diǎn)的圓的切線的斜率判斷③正確；
由直線y=kx+1恒過的定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部求解m的取值范圍，結(jié)合圓的條件判斷④錯誤．

解答： 解：對于①，∵直線的傾斜角的范圍是[0，π）．
∴命題①錯誤；
對于②，∵直線l：y=kx+1恒過定點(diǎn)M（0，1），
kMB=

-2-1

4

=-

3

4

，kMA=

5-1

-1

=-4．
∴k≤-4或k≥-

3

4

．
命題②正確；
對于③，方程（x-2）²+y²=3表示以（2，0）為圓心，以

3

為半徑的圓，

y

x

的幾何意義是連接圓上的動點(diǎn)和原點(diǎn)的連線的斜率，設(shè)過原點(diǎn)的圓的切線方程
為y=kx，由

|2k|

k2+1

=

3

，得k=±

3

．
∴

y

x

的最大值為

3

．
命題③正確；
對于④，∵直線y=kx+1恒過定點(diǎn)（0，1），
∴要使直線y=kx+1與橢圓

x2

5

+

y2

m

=1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是m≥1，但當(dāng)m=5時方程

x2

5

+

y2

m

=1不是橢圓，∴命題④錯誤．
∴正確命題的序號是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線的斜率，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，是中檔題．