Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為 ，是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn) （Ⅰ）當(dāng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)，，則
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823201355100642.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，所以，
，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（Ⅱ）設(shè)兩個(gè)頂點(diǎn)為B，C，顯然直線AC斜率存在，不妨設(shè)AC的直線方程為，代入橢圓的方程中可得，解得（即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)），
由弦長公式得：
同理：z
由，即，化解得：
，即.
考慮關(guān)于的方程，其判別式
（1）當(dāng)時(shí)，，其兩根設(shè)為，由于，故兩根必為正根，顯然，故關(guān)于的方程有三解，相應(yīng)地，這樣的等腰直角三角形有三個(gè).
（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程的解，故方程
只有一解，相應(yīng)地，這樣的等腰直角三角形只有一個(gè).
（3）當(dāng)時(shí)，顯然方程只有這一個(gè)解，相應(yīng)地，這樣的等腰直角三角形只有一個(gè).
綜上：當(dāng)時(shí)，這樣的等腰直角三角形有三個(gè)；當(dāng)時(shí)，這樣的等腰直角三角形只有一個(gè).

略