如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長(zhǎng)度之比為1:3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)求的取值范圍.

 

【答案】

(Ⅰ); (Ⅱ)[).

【解析】

試題分析:(Ⅰ)由題意比例關(guān)系先求c,再由離心率求a,從而可求橢圓的方程;(Ⅱ)分直線AB斜率是否存在兩種情況討論:(1)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí),易求;(2)當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí),先設(shè)直線AB的斜率,點(diǎn)M、A、B的坐標(biāo),把點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入橢圓方程求k、m之間的關(guān)系,再求PQ直線方程,然后與橢圓方程聯(lián)立方程組,由韋達(dá)定理求的表達(dá)式,最后求其范圍.

試題解析:(Ⅰ) 設(shè)F2(c,0),則,所以c=1.

因?yàn)殡x心率e=,所以a=

所以橢圓C的方程為.                     6分

(Ⅱ)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí),直線AB方程為x=-,此時(shí)P(,0)、Q(,0)

當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線AB的斜率為k,M(-,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).

 得(x1+x2)+2(y1+y2)=0,則-1+4mk=0,故k=

此時(shí),直線PQ斜率為,PQ的直線方程為.即

聯(lián)立 消去y,整理得

所以,

于是(x1-1)(x2-1)+y1y2

令t=1+32m2,1<t<29,則

又1<t<29,所以

綜上,的取值范圍為[,). 15分

考點(diǎn):1、橢圓的方程及性質(zhì);2、直線與橢圓相交的性質(zhì);3、向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線l:x=-
1
2
將線段F1F2分成兩段,其長(zhǎng)度之比為1:3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn).
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 是否存在點(diǎn)M,使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F2,若存在,求出M點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•浙江模擬)如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線l:x=-
1
2
將線段F1F2分成兩段,其長(zhǎng)度之比為1:3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上.
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求
F2P
F2Q
的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年浙江省臨海市高三第三次模擬理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長(zhǎng)度之比為1 : 3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上.

(Ⅰ) 求橢圓C的方程;

(Ⅱ) 求的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年江西南昌10所省高三第二次模擬突破沖刺理科數(shù)學(xué)(一)(解析版) 題型:解答題

如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓

C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長(zhǎng)度之比為1 : 3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn).

(Ⅰ) 求橢圓C的方程;

(Ⅱ) 是否存在點(diǎn)M,使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F2,若存在,求出M點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年浙江省高三高考模擬測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

 如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長(zhǎng)度之比為1 : 3.設(shè)A,B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上.

(Ⅰ) 求橢圓C的方程;

(Ⅱ) 求的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案