（A題）如圖，在橢圓
x2
a2
+
y2
8
=1（a＞0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，B，D分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，A為橢圓在第一象限內(nèi)弧上的任意一點(diǎn)，直線AF1交y軸于點(diǎn)E，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF2為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)m=
S△AF1O
S△AEO
，n=
S△CF1O
S△CEO
，求m+n的取值范圍．
（1）因?yàn)镕1，F(xiàn)2三等分線段BD，所以|F1F2|=
1
3
|BD|，即2c=
1
3
•2a，所以a=3c①，
又a2=b2+c2②，b2=8③，聯(lián)立①②③解得a=3，c=1，
所以B（-3，0），F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)1為BF2的中點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅蜤BCF2為平行四邊形，所以C，E關(guān)于F1（-1，0）對(duì)稱(chēng)，
設(shè)C（x0，y0），則E（-2-x0，-y0），
因?yàn)镋在y軸上，所以-2-x0=0，解得x0=-2，
又因?yàn)辄c(diǎn)C（x0，y0）在橢圓上，所以
x02
9
+
y02
8
=1，
又x0=-2，所以
4
9
+
y02
8
=1，解得y0=±
2
10
3
，依題意y0=-
2
10
3
，
因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-
2
10
3
）；
（2）依題意直線AC的斜率存在，所以可設(shè)直線AC：y=k（x+1），A（x1，y1），C（x2，y2），
由
x2
9
+
y2
8
=1
y=k(x+1)
，得（8+9k2）x2+18k2x+9（k2-8）=0，x1+x2=-
18k2
8+9k2
，x1x2=
9(k2-8)
8+9k2
，
所以m=
S△AF1O
S△AEO
=
1
2
|AF1|h
1
2
|AE|h
=
|AF1|
|AE|
=
1+k2
•|-1-x1|
1+k2
•|0-x1|
=
|x1+1|
|x1|
=
x1+1
x1
，其中h為點(diǎn)O到AE的距離，
n=
S△CF1O
S△CEO
=
1
2
|CF1|h
1
2
|CE|h
=
|CF1|
|CE|
=
1+k2•
|-1-x2|
1+k2
•|0-x2|
=
|1+x2|
|x2|
=
-1-x2
-x2
=
1+x2
x2
，
m+n=
x1+1
x1
+
1+x2
x2
=
x2(1+x1)+x1(1+x2)
x1x2
=
2x1x2+x1+x2
x1x2
，
=2+
x1+x2
x1x2
=2+
-18k2
8+9k2
9(k2-8)
8+9k2
=2+
-2k2
k2-8
=2-
2(k2-8)+16
k2-8
=-
16
k2-8
．
因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以0＜k＜2
2
，即0＜k2＜8，
令t=-
16
k2-8
，則k2=8-
16
t
，所以0＜8-
16
t
＜8，即0＜
1
t
＜
1
2
，解得t＞2，
故m+n的取值范圍是t＞2．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
3
2
，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4
5
，直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）若直線l不經(jīng)過(guò)橢圓上的點(diǎn)M（4，1），求證：直線MA，MB的斜率互為相反數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

過(guò)點(diǎn)A（0，2）可以作 ______條直線與雙曲線x2-
y2
4
=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若橢圓E1：
x2
a21
+
y2
b21
=1和橢圓E2：
x2
a22
+
y2
b22
=1滿(mǎn)足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m＞0)，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過(guò)（2，
6
)且與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的一條射線l分別與（Ⅰ）中的兩橢圓交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在線段OB上）．
①若P是線段AB上的一點(diǎn)，若|OA|，|OP|，|OB|成等比數(shù)列，求P點(diǎn)的軌跡方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知兩點(diǎn)F′（-2，0），F(xiàn)（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足|
F′F
||
FP
|+
F′F
•
F′P
=0．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與軌跡C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四點(diǎn)，自下而上依次記這四點(diǎn)為A、B、C、D，求
AB
•
CD
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

【理科】拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是圓x2+y2-4x=0的圓心．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線l的斜率為2，且過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)；
（3）過(guò)點(diǎn)P（1，1）引拋物線的一條弦，使它被點(diǎn)P平分，求這條弦所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)拋物線y2=2px焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABO為（　�。�
A．銳角三角形B．直角三角形C．不確定D．鈍角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P（0，1），Q（0，2）．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)P在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，滿(mǎn)足|PF1|=6-|PF2|，且橢圓C的離心率為
5
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)Q（1，0）且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N，在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使得
GM
•
GN
為定值．若存在，求出所有滿(mǎn)足這種條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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