Question

已知外接圓的半徑為，且．

（Ⅰ）求邊的長(zhǎng)及角的大小；

（Ⅱ）從圓內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，若點(diǎn)取自內(nèi)的概率恰為，試判斷的形狀．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），；（Ⅱ）為等邊三角形.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先利用的定義結(jié)合計(jì)算出的大小，然后在中利用余弦定理即可求出邊的長(zhǎng)，對(duì)于角的大小可以根據(jù)性質(zhì)“同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半來(lái)計(jì)算；（Ⅱ）先利用幾何概型計(jì)算出的面積，然后利用三角形的面積公式及余弦定理等求出的三條邊、、的大小，進(jìn)而確定的形狀.

試題解析：（Ⅰ）依題意，      2分

得，又，故， 4分

又為等腰三角形， 故，       5分

而或．      6分

（Ⅱ）依題意，從圓內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，取自內(nèi)的概率，

可得．      8分

設(shè)，.設(shè)，由，得，    ① 

由，得，    ②

聯(lián)立①②得,這是不可能的. 所以必有.        9分

由，得，    ①

由，得，   ②   11分

聯(lián)立①② 解得.

所以為等邊三角形．      12分

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積、圓周角定理、余弦定理、幾何概型、三角形的面積公式