已知a , b都是正數(shù)，△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi), 以兩點(diǎn)A (a ,0 )和B (0,b )為頂點(diǎn)的正三角形，且它的第三個頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi).

（1）若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 £ x £ 1, 0£ y £ 1}內(nèi)， 試求變量 a , b 的約束條件，并在直角坐標(biāo)系aOb內(nèi)畫出這個約束條件表示的平面區(qū)域；

（2）當(dāng)(a, b )在（1）所得的約束條件內(nèi)移動時，求△ABC面積S的最大值，并求此時（a , b）的值.（14分）

（14分）

[解析]：解: （1）由題意知：頂點(diǎn)C是分別以A、B為圓心，以|AB|為半徑的兩圓在第一象限的交點(diǎn)，由圓A: ( x – a)2 + y2 = a2 + b2 , 圓B: x2 + ( y – b )2 = a2 + b2 .

解得 x = , y = ，∴C（， ）

△ABC含于正方形D內(nèi)，即三頂點(diǎn)A，B，C含于區(qū)域D內(nèi)時，

∴   

這就是 ( a , b )的約束條件. 其圖形為右圖的六邊形， 

∵a > 0 , b > 0 , ∴圖中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除外．

（2）∵△ABC是邊長為的正三角形,∴ S = ( a2 + b2 )

在（1）的條件下, 當(dāng)S取最大值等價于六邊形圖形中的點(diǎn)( a, b )到原點(diǎn)的距離最大,

由六邊形中P、Q、R相應(yīng)的OP、OQ、OR的計(jì)算.

OP2 = OR2 = 12 + ( 2 – )2 = 8 – 4，OQ2 = 2( – 1)2 = 8 – 4.

∴ OP = OR =OQ  ∴當(dāng) ( a , b ) = ( 1, 2 –), 或(– 1, – 1), 或( 2 –, 1 )時, Smax =2– 3. 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b都是正實(shí)數(shù)，函數(shù)y=2aex+b的圖象過（0，2）點(diǎn)，則
1
a
+
1
b
的最小值是（　　）
A、
3
2
+
2
B、3+2
2
C、4
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）若a≥1，用分析法證明
a+1
+
a-1
＜2
a
；
（2）已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2，求證：（2a+1）（b+1）≥9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b都是正實(shí)數(shù)，函數(shù)y=2aex+b的圖象過點(diǎn)（0，1），則
1
a
+
1
b
的最小值是
3+2
2
3+2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•東至縣模擬）已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=2，求證：
a2
a+1
+
b2
b+1
≥1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計(jì)20分。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A、選修4-1：幾何證明選講

   如圖，已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD//BC，過C作該圓的切線，交AD的延長線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換

已知 為矩陣屬于λ的一個特征向量，求實(shí)數(shù)a，λ的值及A2。

C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

   在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

D、選修4-5：不等式選講

   已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

 

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