Question

已知函數f（x）=x+

α

x

+lnx（α∈R）
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間與極值點；
（2）若對?α∈[

1

e

，2e²]，函數f（x）滿足對?∈[l，e]都有f（x）＜m成立，求實數m的取值范圍（其中e是自然對數的底數）．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

(x＞0)，對a分類討論：a≤0時，a＞0，研究函數的單調性極值即可；
（2）函數f（x）滿足：?a∈[

1

e

，2e²]，函數f（x）滿足對?x∈[l，e]都有f（x）＜m成立，?f（x）_max＜m．利用（1）的結論與函數f（x）的單調性即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

(x＞0)，
①a≤0時，f′（x）≥0，∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
此時函數f（x）無極值點；
②a＞0，令f′（x）=0，解得x1=

1+4a -1

2

(x2=

-1- 1+4a

2

舍去)，
當0＜x＜x₁時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，x₁）上單調遞減；
當x＞x₁時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（x₁，+∞）上單調遞增；
即f（x）在(0，

1+4a -1

2

)上單調遞減，在(

1+4a -1

2

，+∞)上單調遞增，
此時函數f（x）僅有極小值點x₁=

1+4a -1

2

．
（2）函數f（x）滿足：?a∈[

1

e

，2e²]，函數f（x）滿足對?x∈[l，e]都有f（x）＜m成立，?f（x）_max＜m．
由（1）知：：?a∈[

1

e

，2e²]，f（x）在(0，

1+4a -1

2

)上單調遞減，在(

1+4a -1

2

，+∞)上單調遞增，
∴

f(1)＜m f(e)＜m

，即

1+a＜m e+ a e +1＜m

，
對?a∈[

1

e

，2e²]，f（x）＜m成立恒成立，
∴

m＞1+2e2 m＞3e+1

又1+2e²＜3e+1，
故實數m的取值范圍是（1+2e²，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．