【題目】如圖,在幾何體中,四邊形是矩形,平面,,分別是線段,的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求平面與平面所成角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見證明(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)取AE的中點(diǎn)H,連接HGHD,通過證明四邊形HGFD是平行四邊形來證明GFDH,由線面平行的判定定理可得;

(Ⅱ)以B為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)?/span>x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,可得平面BEC和平面AEF的法向量,由向量夾角的余弦值可得.

(Ⅰ)如圖,取的中點(diǎn)連接,,又的中點(diǎn),

所以,且,

中點(diǎn),所以

由四邊形是矩形得,

所以.

從而四邊形是平行四邊形,所以,

DH平面ADEGF平面ADE,∴GF∥平面ADE.

(Ⅱ)如圖,在平面內(nèi),過點(diǎn),因?yàn)?/span>,所以.又平面,所以.

為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)?/span>軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),設(shè),則,,.

因?yàn)?/span>平面,所以為平面的法向量,設(shè)為平面的法向量. 又,

,即,取,

,

所以平面與平面所成角的余弦值為.

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