Question

【題目】已知二次函數(shù).

(1)若是的兩個(gè)不同零點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù),使成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)設(shè),函數(shù),存在個(gè)零點(diǎn).

(i)求的取值范圍;

(ii)設(shè)分別是這個(gè)零點(diǎn)中的最小值與最大值,求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 不存在.理由見(jiàn)解析；

(2) (i) (ii)

【解析】

(1) .假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，由韋達(dá)定理可得：，解得,又，即，綜合可得假設(shè)不成立；

(2) (i)作出函數(shù)的圖象，觀察圖像即可求出的取值范圍;

(ii)設(shè)直線與此圖象的最左邊和最右邊的交點(diǎn)分別為.即，因?yàn)?/span>，代入運(yùn)算可得解.

解:(1)依題意可知,.假設(shè)存在實(shí)數(shù),使成立.

因?yàn)?/span>有兩個(gè)不同零點(diǎn)，.

所以,解得.

由韋達(dá)定理得

所以

解得,而,故不存在.

(2)因?yàn)?/span>,設(shè),則,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

(i)作出函數(shù)的圖象，如圖所示,所以.

(ii)設(shè)直線與此圖象的最左邊和最右邊的交點(diǎn)分別為.

由,得

由,得

所以

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.

故的最大值為.